巧算八边形的面积

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已知八边形的各边长, 如何求其面积?

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完成本期挑战需要达到：

初中数学水平

8 / 12 读者挑战成功

题目

一个八边形的顶点都在圆上, 它的四条短边长度为2, 四条长边长度为3. 则该八边形的面积为 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年01月06日 08:00

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圆的半径

一个八边形的四条短边长度为2, 四条长边长度为3. 则其外接圆的半径 $\text{[math]}$

不妨设较大的圆心角为 $\text{[math]}$ , 则较小的圆心角为 $\text{[math]}$ .

则在大三角形中有

$\text{[math]}$

同理在小三角形中有

$\text{[math]}$

化简得 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

两式相加得 $\text{[math]}$

由 $\text{[math]}$ 得

$\text{[math]}$

八边形的面积

接下来我们可以用勾股定理计算每个三角形的高, 然后求其面积后相加. 但是从圆的半径可以看出计算过程会相当复杂. 那么你有更好的方法吗?