圈圈圆圆圈圈
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数列
面积
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高中数学 -- 2021年07月16日

摘要
无穷多个圆堆积在一个等腰三角形内,你能求出所有圆的周长和,面积和吗?
如图,有一个腰长为13,底边长为10的等腰三角形,其内有无穷多个圆,这些圆都与三角形的边相切,并且相邻圆之间外切,那么所有这些圆的周长和是多少呢?
我们来分析一下,要求圆的周长,就要求圆的半径或直径,无穷多个圆的半径和怎么求呢?可能要用到无穷等比数列各项和公式了.
再仔细观察图形,所有圆的直径和不就是三角形的高吗?
根据等腰三角形的边长可知,三角形的高为12,因此,所有圆的直径和为12,根据周长公式,可得所有圆的周长和是.
那么如果计算所有圆的面积和呢?请你来挑战一下吧.
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题目
如图,有一个腰长为13,底边长为10的等腰三角形,其内有无穷多个圆,这些圆都与三角形的边相切,并且相邻圆之间外切,那么所有这些圆的面积和是 __________.

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设三角形内切圆半径为r,则S/S△=(πr^2/4)/(13r^2/12)=3π/13,因此S=12×5×3π/13=180π/13