搜寻机器人

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无人机的搜寻范围是7公里内，能找到出故障而走失的机器人吗？

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完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

8 名读者已经挑战成功

题目

现有一机器人，从基地A出发向东行进 $\text{[math]}$ km到达B点. 而后发生了程序故障，其行进方向往东偏北方向发生了一次偏转(偏转角度在 $\text{[math]}$ 之间). 小车在转向后又继续沿直线行驶了 $\text{[math]}$ km才停了下来，目前基地的无人机已经起飞，将通过航拍来搜寻小车的位置.但无人机的有效搜寻范围是以基地为圆心, $\text{[math]}$ km为半径的范围内,小车落在该范围内的概率是 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2021年05月09日 08:00

正余弦定理

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余弦定理是描述三角形中三边长度与一个角的余弦值关系的数学定理,是勾股定理在一般三角形情形下的推广.

对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦值的乘积的两倍.

若三边为 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,三角为 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,则如下图所示,在 $\text{[math]}$ 中

$\text{[math]}$

余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理,直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三边求三角的问题,若对余弦定理加以变形并结合其它知识,则使用起来更为方便、灵活.

下面给出余弦定理的2种证明.

解析几何法证明

以点 $\text{[math]}$ 为原点建立平面直角坐标系.

则根据三角形三条边长 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,和对应的三角 $\text{[math]}$ ,可得点的坐标

$\text{[math]}$ .

由两点间距离公式可得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

即

$\text{[math]}$

同理可证另外两式.

向量法证明

用向量表示 $\text{[math]}$ 的边.

则

$\text{[math]}$

用三角形边长 $\text{[math]}$ 代入,则有 $\text{[math]}$ ,即

$\text{[math]}$

同理可证另外两式.