折纸几何

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将一张长方形白纸折叠，使一角触及对边，求折痕的长度.

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完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

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题目

一张6厘米宽的长方形白纸如图折叠，使一角触及对边，折痕的长度以厘米为单位，若 $\text{[math]}$ 已知，则折痕 $\text{[math]}$ 的长度是 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

以上都不是

2021年04月24日 08:00

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折纸几何学，又称作折纸数理学，指的是对折纸艺术从数学的角度加以研究.

从19世纪开始，折纸在西方成为了数学和科学研究的工具，解决在折纸过程中发现的一些数学之迷已经发展成为现代几何学的一个分支.其中比较突出的是日本筑波大学(原东京教育大学)的芳贺和夫所发现的折纸几何三定理，它已成为折纸几何学中的基本定理.

让我们从一道题中研究芳贺第一定理:

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 翻折，折出折痕 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，问点G的位置，即 $\text{[math]}$ 是多少？

设 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ ,由折叠可知 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

在直角 $\text{[math]}$ 由勾股定理得

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

解得

$\text{[math]}$ ,所以 $\text{[math]}$

由折叠可知 $\text{[math]}$ ,易得 $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$

即 $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$

由此可知:G为AD的三等分点.

这就是著名的芳贺第一定理： $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，将 $\text{[math]}$ 向 $\text{[math]}$ 翻折，折出折痕 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 对称， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则G为AD的三等分点.

其实它的证明过程并不复杂.仅仅用了初等几何知识和折纸背后所蕴含的逻辑.