三角比公式无字证明

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利用几何图形推导两角和差的三角比公式.

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高中数学水平
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题目

如图,两个矩形是全等的,第一幅图中间是菱形,请仔细观察两幅图,利用图中给出的几何关系和未知角度,能够推导出的公式是: __________.

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选项

慕容玖
2021年04月20日 08:00
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这是三角函数的和角公式,很多人都不知道它可以用勾股定理的类似的几何证明来推导,我们先画出四个斜边为1的三角形. image 将它们排列成如图所示的矩形. image

白色部分的面积是两个小矩形的面积之和:

我们还可以重新排列四个三角形:

image 现在白色的空间是一个边长为1的菱形,我们用平行四边形面积公式 "底乘高"可以计算. 底边长是1,高在图中用代替.我们看到,这是一个直角三角形,斜边是1,图中箭头处的角度为. 因此:

由于矩形相同,所以空白处的面积也相同.因此我们证明:

至少对于0°和90°之间的角是成立的.