三角比公式无字证明

129

6

2

利用几何图形推导两角和差的三角比公式.

challenge_title

完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

6 / 10 读者挑战成功

题目

如图，两个矩形是全等的，第一幅图中间是菱形，请仔细观察两幅图，利用图中给出的几何关系和未知角度 $\text{[math]}$ ，能够推导出的公式是： __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2021年04月20日 08:00

有 0 人认为该挑战有问题

报告问题

$\text{[math]}$

这是三角函数的和角公式，很多人都不知道它可以用勾股定理的类似的几何证明来推导，我们先画出四个斜边为1的三角形. 将它们排列成如图所示的矩形.

白色部分的面积是两个小矩形的面积之和：

$\text{[math]}$

我们还可以重新排列四个三角形：

现在白色的空间是一个边长为1的菱形，我们用平行四边形面积公式 "底乘高"可以计算. 底边长是1，高在图中用 $\text{[math]}$ 代替.我们看到，这是一个直角三角形，斜边是1，图中箭头处的角度为 $\text{[math]}$ . 因此：

$\text{[math]}$

由于矩形相同，所以空白处的面积也相同.因此我们证明：

$\text{[math]}$

至少对于0°和90°之间的角 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 是成立的.