黄金三角形的妙用

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利用黄金三角形巧算 $\text{[math]}$ 的值，你不挑战一下？

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完成本期挑战需要达到：

初中数学水平

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题目

如图所示， $\text{[math]}$ 是一个黄金三角形，即底边长与腰长之比为 $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ ，利用该图,可求出 $\text{[math]}$ 的值为 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2021年04月15日 08:00

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0.618被称为黄金分割比，精确值为 $\text{[math]}$ ，数学中许多有趣的现象都与黄金分割数有关，比如黄金三角形.

连接正五边形的所有对角线，由此产生的所有三角形，称作黄金分割三角形，简称黄金三角形. 如图：

黄金三角形有两种，在上图中均可看到：

一种是等腰三角形的底角为 $\text{[math]}$ ，顶角为 $\text{[math]}$ ,该三角形的底边长与腰长之比为 $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ ，故被称为是黄金三角形.

另一种也是等腰三角形，底角为 $\text{[math]}$ ，顶角为 $\text{[math]}$ ,该三角形的腰长与底边长之比为 $\text{[math]}$ 约为 $\text{[math]}$ .

以第一种为例，我们来证明其底边长与腰长之比为 $\text{[math]}$ .

如图， $\text{[math]}$ 是一个黄金三角形：作 $\text{[math]}$ 的角平分线 $\text{[math]}$ ：

易知 $\text{[math]}$

所以 $\text{[math]}$

设 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$

因此 $\text{[math]}$ ,即 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$

接下来，你能利用这个黄金三角形来计算 $\text{[math]}$ 的值吗？