盈不足问题

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《九章算术》专门有一章讲“盈不足” 问题，并给出了完整的解法 ——“盈不足术”.

完成本期挑战需要达到：

大众数学水平

17 名读者已经挑战成功

题目

古文：今有漆三得油四，油四和漆五. 今有漆三斗，欲令分以易油，还自和余漆. 问出漆、得油、和漆各几何？(选自《九章算术》)

现代文：已知三份漆可以去市场换得四份油，四份油可以与五份漆调和为油漆. 现有 30 升漆，如果用一部份去市场换油，把换来的油又去调和余下来的漆. 若刚好把油、漆都用完，问拿去换油的漆有多少？换得了多少油？这些油又调和了多少漆?

用去换油的漆有 __________.

选项

$\text{[math]}$

慕容玖

2021年02月13日 08:00

方程

中国古代数学

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为了介绍我国古代数学在盈不足术方面的成就，我们先讲一个有趣的故事.

据《唐阙 (quē) 史》记载：公元 $\text{[math]}$ 年左右，唐代有位大官叫杨损，在选用和提拔行政官吏方面以公正闻名. 一次，有两个办事员，需要提升其中一个. 麻烦的是这两个人的职位相同，工作的时间也同样长，甚至他们得到的评语也完全相同.那么，究竟提拔谁好呢？

负责这项工作的官吏对这件事感到很伤脑筋，便去请示杨损. 杨损仔细考虑了一番，说：“一个办事员的最大优点之一是要算得快。现在就让这两个候补人员都来听我出题，哪一个先得出正确答案，他就该得到提升. ”

他的题是：“有人在林中散步无意间听到几个盗贼在商量怎样分偷来的布匹. 他们说，若每人分 $\text{[math]}$ 匹，就会剩 $\text{[math]}$ 匹;若每人分 $\text{[math]}$ 匹，就会差 $\text{[math]}$ 匹. 试问，这里共有几个盗贼？布匹总数又是多少？”

杨损让两个候选人员当场在大厅的石阶上用筹进行计算. 不一会，其中一人得出了正确答案，他被提升了. 大家对这个决定也都表示赞成.

英国学者李约瑟在他的著作中曾引用过这个故事，并大书特书，说明解线性方程组的代数问题，在中国唐代曾被用来考核、提升官吏.

这个故事提出的问题，可用二元一次方程组来解，而在两千年前的《九章算术》中，就有很多这类问题. 书中把它们称为“盈不足” 问题，并列出专门一章，给出了完整的解法 ——“盈不足术”.

下面，我们用“盈不足术”解此题.

设盗贼人数为 $\text{[math]}$ ，布匹总数为 $\text{[math]}$ ，则有： $\text{[math]}$ 解得：