河上荡杯

我国古代的众多书籍之中，很多都有分数的影子；比如，战国时魏相李悝（前455 — 前395年）所著《法经》中开列了一个五口农家年收支的细帐. 实际上是一道包括分数乘法在内的复杂的四则应用题.

此外，律学中三分损益法的应用和古代黄帝、颛顼、夏、殷、周、等六部历法采用复杂的分数数据，这些都说明至迟在战国时代，中国人已掌握了分数四则运算的规律.

《九章算术》则对这些运算规律作了总结，书中把分数的加、减、乘、除分别称为合分、减分、乘分和经分.

经分术紧接在一道分钱题后，故曰： “以人数为法，钱数为实，实如法而一. 有分者通之，重有分者同而通之.” 这里的 “重有分者，就是除数与被除数皆为分数的情况.

为此刘徽注道： “又以法分母乘实，实分母乘法. 此谓法实俱有分，故令分母乘全内子，又令分母互乘上下. ”

这也就是将被除数与母、子颠倒后的除数相乘，用数学符号写出来即 ；

刘徽所说的 “乘全内子”，系对带分数进行通分，如 ， 即为“乘全”，再加1即为“内（纳）子”.

《九章算术》还有课分、平分两术：前者与减分类似，目的是比较分数的大小；后者是求若干分数的平均值，又与合分经分有关.

​ 分数概念既然是由“实不满法”所导出的，那么它除了可以被看作一个实在的数外，也可以被看成一对实与法的比，分数运算的过程就是要做到“法实相推”，不同类的法实比率则需通过齐同术来化为同类，这样就可以把分数理论纳入到内涵更丰富的比率理论之中了.

刘徽等中国古代数学家正是利用比率性质来解释一些应用问题的，现在我们用下面这道例题来说明：

例题

古文：今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海. 今凫、雁俱起，问何日相逢? 注：凫为野鸭.

现代文：野鸭从南海起飞，七天可以到达北海；大雁从北海起飞，九天可到达南海. 假设野鸭、大雁同时起飞，他们需要多少天相遇？

题解

假设南海与北海之间的距离为，则野鸭的飞行速度为 ，大雁的飞行速度为 ，

假设两者同时起飞，它们的速度和为

所以，相遇需要的天数为 .

参考文献：

[1]夏树人, 孙道杠.中国古代数学的世界冠军[M].重庆出版社,1984.

[2] 刘钝. 国学丛书-大哉言数[M].辽宁教育出版社,1993.