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图中哪些三角形的总面积更大?
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题目
如图是一个由正八边形和正方形组成的图形, 那么4个橘色三角形和8个绿色三角形的总面积相比, 较大的是 __________.

选项
4个橘色三角形
8个绿色三角形
一样大
我们知道, 两个三角形相似, 则对应角相等, 对应边成比例, 那么他们之间的面积有什么关系呢?
答案是相似三角形的面积比是其对应边的平方比.
具体的来说, 如果有两个相似三角形, 如图所示, 其对应边分别为和
.
那么它们的面积之比将等于
的平方, 即
下面对此结论作一个简单的证明.
作三角形的高. 设左边三角形的高度为, 则另一个三角形的高度等于
.
根据三角形面积公式有
联立得.
所以如果两个三角形的相似比是, 它们的面积比就是
.
那么你能用这个结论解决下面这道面积题吗?
如图, 在正方形中,点
是边
中点,
交対角线
于点
.四边形
的面积为
,则
的面积是?
令的面积为
,则
的面积为
, 正方形的面积为
.
利用三角形相似的判定定理, ,相似比为
,于是
的面积为
.
接着考虑梯形, 其面积既是正方形面积的
, 又为
.
建立关于的方程:
解得.
于是正方形面积为
.