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图中哪些三角形的总面积更大？

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题目

如图是一个由正八边形和正方形组成的图形, 那么4个橘色三角形和8个绿色三角形的总面积相比, 较大的是 __________.

选项

4个橘色三角形

8个绿色三角形

一样大

2022年10月20日 08:00

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我们知道, 两个三角形相似, 则对应角相等, 对应边成比例, 那么他们之间的面积有什么关系呢？

答案是相似三角形的面积比是其对应边的平方比.

具体的来说, 如果有两个相似三角形, 如图所示, 其对应边分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ . 那么它们的面积之比将等于 $\text{[math]}$ 的平方, 即 $\text{[math]}$

下面对此结论作一个简单的证明.

作三角形的高. 设左边三角形的高度为 $\text{[math]}$ , 则另一个三角形的高度等于 $\text{[math]}$ . 根据三角形面积公式有 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

联立得 $\text{[math]}$ .

所以如果两个三角形的相似比是 $\text{[math]}$ , 它们的面积比就是 $\text{[math]}$ .

那么你能用这个结论解决下面这道面积题吗？

如图, 在正方形 $\text{[math]}$ 中,点 $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 中点, $\text{[math]}$ 交対角线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ 的面积是?

令 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ , 正方形的面积为 $\text{[math]}$ .

利用三角形相似的判定定理, $\text{[math]}$ ,相似比为 $\text{[math]}$ ,于是 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ .

接着考虑梯形 $\text{[math]}$ , 其面积既是正方形面积的 $\text{[math]}$ , 又为 $\text{[math]}$ .

建立关于 $\text{[math]}$ 的方程:

$\text{[math]}$

解得 $\text{[math]}$ .

于是正方形 $\text{[math]}$ 面积为 $\text{[math]}$ .