旋转翻转

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你能写出所有的3阶幻方吗？不停的旋转或翻转一个3阶幻方能得到多少个幻方？

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完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

4 / 14 读者挑战成功

题目

3阶幻方是指将数字1-9填入一个九宫格, 使得每行每列对角线上的数字之和都相等.

如果一个幻方经过旋转或翻转后得到的幻方, 称为是等价的幻方, 那么在等价的意义下, 三阶幻方共有 __________个.

选项

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2

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8

2022年09月23日 08:00

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3阶幻方是指将数字1-9填入一个九宫格, 使得每行每列对角线上的数字之和都相等. 我们很容易就能写出一个符合条件的3阶幻方, 比如：

$\text{[math]}$

那么由这个幻方通过旋转或翻转, 能生成多少个幻方呢？

由于旋转450°与旋转90°, 是一样的效果, 所以我们只考虑旋转角度为0°, 90°, 180°, 270°, 这4种旋转变换, 并且只考虑逆时针方向旋转. 翻转的对称轴考虑竖直方向, 水平方向, 主对角线, 副对角线共4种.

将每一种变换分别作用于一个幻方, 就能生成一个新的幻方.

我们用 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 来表示4种旋转, 其对应旋转角度分别是 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

用 $\text{[math]}$ 来表示翻转的4种情况, 相应的对称轴分别为竖直方向, 水平方向, 主对角线, 副对角线. 具体的变换结果如下：

$\text{[math]}$

这样我们得到了8个幻方.

那么把生成的幻方再次进行旋转或翻转, 还能生成新的幻方吗？

举个例子,

将一个3阶幻方

$\text{[math]}$

沿水平方向翻转, 则有

$\text{[math]}$

得到的这个幻方还是原来8个幻方中的一个.

其实这相当于将初始幻方先逆时针旋转 $\text{[math]}$ 再沿着水平方向翻转.

所以这里就涉及到旋转和翻转的复合变换. 我们将变换 $\text{[math]}$ 复合, 记作 $\text{[math]}$ , 表示先作用变换 $\text{[math]}$ , 再作用变换 $\text{[math]}$ .

上面这个例子说明

$\text{[math]}$

可以验证在8个变换中, 任选2个变换复合作用于一个幻方, 得到的幻方必然还在这8个幻方中.

验证的表格如下： (其中表格中的元素 $\text{[math]}$ 对应的是行 $\text{[math]}$ , 列 $\text{[math]}$ )

$\text{[math]}$

所以将一个3阶幻方经过旋转或翻转变换后, 有且仅有8个幻方.（包括自身）