正弦平方和

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19

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求1°到90°的正弦值平方和.

challenge_title

完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

19 名读者已经挑战成功

题目

求值： $\text{[math]}$ __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年07月22日 08:00

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在任意角 $\text{[math]}$ 的终边上任取异于原点的一点P, 坐标为 $\text{[math]}$ ,并令 $\text{[math]}$ , 必有 $\text{[math]}$

定义角 $\text{[math]}$ 的正弦, 余弦分别为

$\text{[math]}$

根据定义, 角 $\text{[math]}$ 的正弦余弦仅与角 $\text{[math]}$ 的大小有关, 而与角 $\text{[math]}$ 的终边上点的位置无关, 因此我们可以用角 $\text{[math]}$ 的终边上到原点距离为1的点来确定角 $\text{[math]}$ 的正余弦值.

将角 $\text{[math]}$ 的顶点置于坐标原点O, 始边与x轴的正半轴重合, 则角 $\text{[math]}$ 的终边与以原点为圆心的单位圆交于唯一的一点 $\text{[math]}$ , 如图所示.

根据定义, 可以得到 $\text{[math]}$

角 $\text{[math]}$ 的终边与角 $\text{[math]}$ 的终边关于直线 $\text{[math]}$ 对称, 角 $\text{[math]}$ 的终边与单位圆交于唯一的一点 $\text{[math]}$ , 角 $\text{[math]}$ 的终边与单位圆交于点 $\text{[math]}$ . 由于点P与点P’关于直线 $\text{[math]}$ 对称, 因此点P的横坐标等于点P’的纵坐标. 因此有,

$\text{[math]}$

今天的挑战题涉及正弦的计算, 你能用本文提到的公式来计算吗?