不被啄的小鸡

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平均有多少只小鸡不会被其他小鸡啄到？

完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

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题目

在一个谷仓里, 有100只小鸡安静的围坐一圈. 突然间, 每只小鸡都同时随机的啄食左侧或右侧的小鸡, 假设每只小鸡转向左边的概率均为 $\text{[math]}$ . 那么平均有__________只小鸡不会被其他小鸡啄到.

选项

$\text{[math]}$

慕容玖

2022年07月01日 08:00

条件概率

数学期望

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在一个谷仓里, 有100只小鸡安静的围坐一圈. 突然间, 每只小鸡都同时以相等的概率啄食左侧或右侧的小鸡. 那么平均有多少只小鸡不会被其他小鸡啄到？

这个问题来自于 2017 年美国Raytheon数学竞赛, 这是一项美国中学生的年度比赛. 来自得克萨斯州的 13 岁的卢克·罗比泰耶 (Luke Robitaille) 在读完问题后不到一秒钟就按下了答题器并给出了正确答案. 因此他获得了 20,000 美元的大学奖学金. 如果你来回答这个问题, 你能在规定的 45 秒内算出答案吗？

让我们来分析一下：如图, 蓝色的小鸡不会被啄当且仅当它没有被左边啄到, 也没有被右边啄到. 由于每只小鸡以 $\text{[math]}$ 的机会朝一个方向啄食, 蓝色小鸡左边的小鸡往左啄食, 右边的小鸡往右啄食, 概率为 $\text{[math]}$ , 因此蓝色的小鸡不被啄食的概率为 $\text{[math]}$ .

由于每只小鸡向左或向右啄食都是独立的, 因此每只小鸡都有 $\text{[math]}$ 的概率不会被啄, 这意味着预计有 $\text{[math]}$ 只未被啄的小鸡.

那么如果小鸡转向左右两边不是等概率的, 结果又会是多少呢？