圆的滚动

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一个小圆绕着直角三角形的内侧滚动一周, 始终与三角形的至少一条边相切, 求圆心经过的路径长.

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完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

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题目

如图, 一个圆心为 $\text{[math]}$ , 半径为 $\text{[math]}$ 的圆沿着直角 $\text{[math]}$ 的边内侧滚动一周, 始终与三角形的至少一条边相切, 其中直角三角形的两条直角边长分别为 $\text{[math]}$ . 当 $\text{[math]}$ 回到原来的位置时, $\text{[math]}$ 经过的路程是 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年06月24日 08:00

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如图, 一个圆心为 $\text{[math]}$ , 半径为 $\text{[math]}$ 的圆沿着直角 $\text{[math]}$ 的边内侧滚动一周, 且始终保持与三角形的至少一条边相切. 其中 $\text{[math]}$ 当 $\text{[math]}$ 回到原来的位置时, $\text{[math]}$ 经过的路程是多少？

我们来分析圆与三角形的两条边相切时的情况：如下图所示, 当圆最靠近点 $\text{[math]}$ 时, 圆心 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处, 设圆与 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的切点分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ . 因此圆心走过的路径必然要在边长 $\text{[math]}$ 的基础上减去 $\text{[math]}$

根据三角比可知 $\text{[math]}$ .

同理分析其他顶点,

可得 $\text{[math]}$ 的路程 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$

下面进行具体的计算：

根据三角比公式，有

$\text{[math]}$

同理

$\text{[math]}$

另外, $\text{[math]}$ .

则路径的长度为 $\text{[math]}$

那么这个问题还有更简便的计算方法吗？

再次观察小圆圆心的路径发现: 当圆心P的路径围成的三角形不断缩小而保持形状不变时, 我们所需要减去的部分其长度是不变的：恰好是与 $\text{[math]}$ 相似且与小圆相外切的三角形的周长.

于是所求路径长 = 原三角形的周长 - 圆的外切相似三角形的周长.