矩形内的雪人

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已知矩形的一条边长和其内两个相切圆的弦长, 求矩形的另一条边长.

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完成本期挑战需要达到：

初中数学水平

5 / 13 读者挑战成功

题目

如图, 有一个矩形 $\text{[math]}$ ,一条边长 $\text{[math]}$ . 在矩形的内部作两个圆, 分别与矩形的两条边相切, 并且这两个圆外切于点 $\text{[math]}$ . 过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交两圆于点 $\text{[math]}$ . 若 $\text{[math]}$ , 则 $\text{[math]}$ __________.

选项

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2022年08月04日 08:00

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圆是一种几何图形, 指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合. 这个给定的点称为圆的圆心. 定值称为圆的半径.

根据其定义, 可以看出圆是一个非常对称的图形, 它有无数条对称轴, 任意一条直径都是它的对称轴. 那么如果作圆的一条弦的垂直平分线, 很显然它是会经过圆心的.

严谨的证明是这样的:

如图所示, 作圆的弦 $\text{[math]}$ 的垂直平分线 $\text{[math]}$ , 于是直线 $\text{[math]}$ 上任意一点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的距离都相等.

根据圆的定义, 则有圆心到点 $\text{[math]}$ 和点 $\text{[math]}$ 的距离也相等.

因此圆心必在 $\text{[math]}$ 上, 即弦的垂直平分线通过圆心.

我们还知道连接两圆圆心的直线叫做连心线, 当两圆相切时, 切点必在连心线上．下面来回顾一下这个结论.

如图, 两圆外切, 由于 $\text{[math]}$ 垂直于切线, $\text{[math]}$ 垂直于切线, 平面上经过一点与已知直线垂直的直线有且仅有一条. 因此 $\text{[math]}$ 三点共线. 即两圆相切时, 切点在连心线上．

下面是两圆内切的情况, 同理可得此时切点必在连心线上．

今天的挑战题需要用到上面提到的两个结论, 那么你能解决这个挑战题吗？