求解嵌套函数

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由函数方程如何求函数表达式?

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题目

用 $\text{[math]}$ 表示全体整数构成的集合, 函数 $\text{[math]}$ , 满足对任意整数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ , 都有

$\text{[math]}$

则函数 $\text{[math]}$ 的表达式可以是__________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年05月18日 08:00

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我们知道正比例函数 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为非零常数, 满足性质 $\text{[math]}$ ，因为 $\text{[math]}$ .

那么对于实数域上的连续函数, 满足这个性质的函数除了正比例函数, 还有别的函数吗？

【问题】设函数 $\text{[math]}$ 在整个实数域上连续, 求函数方程式 $\text{[math]}$ 的解.

【解】因为

$\text{[math]}$

由数学归纳法知, 对任意的实数 $\text{[math]}$ 有

$\text{[math]}$

特別的当 $\text{[math]}$ 时,

$\text{[math]}$

取 $\text{[math]}$ , 可得 $\text{[math]}$ .

把 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ , 可得

$\text{[math]}$

代入 $\text{[math]}$ , 可得

$\text{[math]}$

把 $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ , 可得

$\text{[math]}$

所以对任意的整数 $\text{[math]}$

设 $\text{[math]}$ 为正整数), 有

$\text{[math]}$ .

而 $\text{[math]}$ .

把 $\text{[math]}$ 代入得

$\text{[math]}$

所以对任意的有理数 $\text{[math]}$ , 有 $\text{[math]}$

因为有理数是实数的稠密子集, 且 $\text{[math]}$ 为连续函数,所以

$\text{[math]}$

是 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中唯一的解.

如果 $\text{[math]}$ , 则 $\text{[math]}$ .

如果 $\text{[math]}$ , 则 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为非零常数. 即为正比例函数.