关于 $\text{[math]}$ 的运算

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你能发现其中的规律从而求出这个无穷多项乘积和吗?

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题目

计算 $\text{[math]}$ __________. (其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数， $\text{[math]}$ )

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年06月08日 08:00

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泰勒级数是将某个函数写成多项式函数, 用这个多项式函数去逼近复杂的原函数. 如 $\text{[math]}$ 的泰勒级数为

$\text{[math]}$

这样可以用泰勒级数的前几项来估计函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 附近的近似值. 而且项数越多, 近似值误差越小.

比如：绿线是 $\text{[math]}$ 的图像, 红线是近似函数的图像.

那么如何把一个函数写成泰勒级数的形式呢?

首先将函数写成 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

第一步先计算常数项 $\text{[math]}$ , 当 $\text{[math]}$ 时有

$\text{[math]}$

即 $\text{[math]}$

接着计算一次项系数 $\text{[math]}$ , 取 $\text{[math]}$ 的导数有

$\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时有

$\text{[math]}$

接着计算二次项系数 $\text{[math]}$ , 再次求导得

$\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时有

$\text{[math]}$

同理可得

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

所以泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数, 这些相加的项由函数在某一点的导数求得.

当 $\text{[math]}$ 时 $\text{[math]}$ 的泰勒(Taylor)级数称为麦克劳林(Maclaurin)级数.

回到文章开头提出的 $\text{[math]}$ 的泰勒级数, 让我们用公式来验证一下.

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ .

把 $\text{[math]}$ 代入得

$\text{[math]}$

现在请你写出 $\text{[math]}$ 的泰勒展开式吧.