关于
的运算
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级数
导数
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华山论剑 -- 2022年06月08日

摘要
你能发现其中的规律从而求出这个无穷多项乘积和吗?
泰勒级数是将某个函数写成多项式函数, 用这个多项式函数去逼近复杂的原函数. 如的泰勒级数为
这样可以用泰勒级数的前几项来估计函数在
附近的近似值. 而且项数越多, 近似值误差越小.
比如:绿线是的图像, 红线是近似函数的图像.
那么如何把一个函数写成泰勒级数的形式呢?
首先将函数写成
第一步先计算常数项, 当
时有
即
接着计算一次项系数, 取
的导数有
当时有
接着计算二次项系数, 再次求导得
当时有
同理可得
所以泰勒级数是用无限项连加式——级数来表示一个函数, 这些相加的项由函数在某一点的导数求得.
当时
的泰勒(Taylor)级数称为麦克劳林(Maclaurin)级数.
回到文章开头提出的的泰勒级数, 让我们用公式来验证一下.
.
把代入得
现在请你写出的泰勒展开式吧.
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