梯形围环

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平面几何

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初中数学 -- 2022年05月19日

摘要

需要多少个梯形可以围成一圈?

众所周知, 三角形的内角和等于 $\text{[math]}$ . 但在一次学术报告上, 数学界领袖级人物陈省身教授却说不对. 正当大家疑惑的交头接耳议论时, 陈教授又说了：“说三角形的内角和等于 $\text{[math]}$ , 不对, 不是说这个结论不对, 而是说这种看问题的方法不对. 应该说 '三角形的外角和等于 $\text{[math]}$ , 才对. ”

陈省身为什么非要把这句话改过来呢? 因为,这样说更有普遍性. 你看：

三角形内角和等于 $\text{[math]}$ , 外角和等于 $\text{[math]}$ ;

（凸）四边形内角和不等于 $\text{[math]}$ , 但外角和仍等于 $\text{[math]}$ ;

（凸）五边形内角和不等于 $\text{[math]}$ , 但外角和仍等于 $\text{[math]}$ ;

$\text{[math]}$

而且, 这个结论还可以推广.

设想有一只小虫, 沿四边形的边界爬行. 当它爬到某一个顶点时, 就要转过一个角度. 然后继续爬. 到第二个顶点时, 又要转过一个角度 $\text{[math]}$ 当它爬回到原处的时候, 它转过的角度的改变量的总和就是 $\text{[math]}$ .

即使是凹的四边形, 这个结论还是成立, 不过, 是它转过的角度的改变量的“代数和”是 $\text{[math]}$ .

设想小虫沿着一个圆周爬行. 这时,爬行的方向随时随地在改变. 譬如, 开始时,小虫在 $\text{[math]}$ 点处, 绕逆时针的方向爬行. 它开始时是面朝东的, 慢慢地面朝东北方向了 ,朝北了 , 朝西北了, $\text{[math]}$ 最后回到 $\text{[math]}$ 处时, 面又朝东了. 所以,它的方向的改变量是 $\text{[math]}$ .