多边形对角线

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哪两个平面凸多边形对角线数量和为125呢?

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完成本期挑战需要达到：

初中数学水平

7 名读者已经挑战成功

题目

已知一个平面凸 $\text{[math]}$ 边形有 $\text{[math]}$ 条对角线, 另一个平面凸 $\text{[math]}$ 边形有 $\text{[math]}$ 条对角线. 如果 $\text{[math]}$ , 则 $\text{[math]}$ __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年05月05日 08:00

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在平面凸多边形中, 对角线是连结两个不相邻顶点的线段. 那么任意一个凸多边形有多少条对角线呢？

通项公式

多边形对角线数目可以由公式

$\text{[math]}$

给出. 其中 $\text{[math]}$ 为多边形的边数.

证明如下.

证明一:

一个 $\text{[math]}$ 边形有 $\text{[math]}$ 个顶点. 从任意一个顶点出发, 可以连接 $\text{[math]}$ 条对角线, 故共有 $\text{[math]}$ 条对角线. 因为每个顶点计算了两次, 所以再除以2就得出对角线的数目为

$\text{[math]}$

证明二:

一个 $\text{[math]}$ 边形有 $\text{[math]}$ 个顶点. 将所有顶点两两相连, 一共有 $\text{[math]}$ 条线段. 其中有 $\text{[math]}$ 条是边不是对角线. 因此 $\text{[math]}$ 边形的对角线数量为

$\text{[math]}$

递归公式

多边形的对角线数量还存在下面的递归关系.

$\text{[math]}$

证明:

$\text{[math]}$ 边形有 $\text{[math]}$ 条对角线. 若增加一个顶点, 除了该顶点和其两个相邻的点, 其余 $\text{[math]}$ 个顶点都可以和它构成一条对角线. 而原本相邻两点间的边则会成为新的对角线.

因此我们有

$\text{[math]}$