排成一排的多边形

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将正 边形排成一排,组成的图形周长是多少?

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完成本期挑战需要达到:
初中数学水平
27 / 34 读者挑战成功
题目

个正多边形,每个多边形有 条边,边长为 . 将这些图形按照如图所示(比如三角形、正方形、五边形那样)排成一排.

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下面多项式__________代表了最终图形的周长.

选项

慕容玖
2021年03月25日 08:00
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个边长为 的等边三角形按照下图所示,被排成了一排:

image

这个图形的周长是多少?如果这个图形是由 个三角形组成的,周长又会是多少?

想知道这些问题的答案,你可以继续阅读;或者直接挑战今日的问题.

我们先从由 个三角形组成的图形开始. 图形的两端各有一个三角形,有 个三角形在两者中间.

  • 开头和结尾的三角形都为整个图形的周长贡献了条边. 由于边长为 ,而这样的三角形有两个,这两个三角形为周长贡献的长度为 .
  • 每个中间的三角形都为这个图形的周长贡献了条边. 由于边长为 ,而我们有 个这样的三角形,这些三角形为周长贡献的长度为 .

所以,这个由个三角形组成的图形的周长是 .

我们将图形分成两端和中间的方法,意味着我们不需要做太大的改动,就能求出 个三角形组成的图形的周长(两端各有一个三角形,中间有 个三角形).

  • 与之前相同,两端的三角形为周长贡献的长度为 .
  • 每个中间的三角形都为这个图形的周长贡献了条边. 由于边长依然为 ,而我们有 个这样的三角形,这些三角形为周长贡献的长度为 .

所以,这个由 个三角形所组成的图形的周长是 .

假如我们使用边长为一的正五边形而不用等边三角形会发生什么?

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现在图形的两端各有一个五边形,中间部分有 个五边形.

  • 每一个位于两端的五边形,会为整个图形的周长贡献 条边. 所以两端的五边形为总周长贡献的长度为 .
  • 每个中间的五边形都为这个图形的周长贡献了条边. 中间的五边形为总周长贡献的长度为 .

所以,这个由 个五边形组成的图形的周长是 .

现在,你可以求解出由正 边形组成的图形的周长吗?