排成一排的多边形

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将正 $\text{[math]}$ 边形排成一排，组成的图形周长是多少？

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完成本期挑战需要达到：

初中数学水平

27 / 34 读者挑战成功

题目

有 $\text{[math]}$ 个正多边形，每个多边形有 $\text{[math]}$ 条边，边长为 $\text{[math]}$ . 将这些图形按照如图所示（比如三角形、正方形、五边形那样）排成一排.

下面多项式__________代表了最终图形的周长.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2021年03月25日 08:00

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报告问题

$\text{[math]}$ 个边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形按照下图所示，被排成了一排：

这个图形的周长是多少？如果这个图形是由 $\text{[math]}$ 个三角形组成的，周长又会是多少？

想知道这些问题的答案，你可以继续阅读；或者直接挑战今日的问题.

我们先从由 $\text{[math]}$ 个三角形组成的图形开始. 图形的两端各有一个三角形，有 $\text{[math]}$ 个三角形在两者中间.

开头和结尾的三角形都为整个图形的周长贡献了 $\text{[math]}$ 条边. 由于边长为 $\text{[math]}$ ，而这样的三角形有两个，这两个三角形为周长贡献的长度为 $\text{[math]}$ .
每个中间的三角形都为这个图形的周长贡献了 $\text{[math]}$ 条边. 由于边长为 $\text{[math]}$ ，而我们有 $\text{[math]}$ 个这样的三角形，这些三角形为周长贡献的长度为 $\text{[math]}$ .

所以，这个由 $\text{[math]}$ 个三角形组成的图形的周长是 $\text{[math]}$ .

我们将图形分成两端和中间的方法，意味着我们不需要做太大的改动，就能求出 $\text{[math]}$ 个三角形组成的图形的周长（两端各有一个三角形，中间有 $\text{[math]}$ 个三角形）.

与之前相同，两端的三角形为周长贡献的长度为 $\text{[math]}$ .
每个中间的三角形都为这个图形的周长贡献了 $\text{[math]}$ 条边. 由于边长依然为 $\text{[math]}$ ，而我们有 $\text{[math]}$ 个这样的三角形，这些三角形为周长贡献的长度为 $\text{[math]}$ .

所以，这个由 $\text{[math]}$ 个三角形所组成的图形的周长是 $\text{[math]}$ .

假如我们使用边长为一的正五边形而不用等边三角形会发生什么？

现在图形的两端各有一个五边形，中间部分有 $\text{[math]}$ 个五边形.

每一个位于两端的五边形，会为整个图形的周长贡献 $\text{[math]}$ 条边. 所以两端的五边形为总周长贡献的长度为 $\text{[math]}$ .
每个中间的五边形都为这个图形的周长贡献了 $\text{[math]}$ 条边. 中间的五边形为总周长贡献的长度为 $\text{[math]}$ .

所以，这个由 $\text{[math]}$ 个五边形组成的图形的周长是 $\text{[math]}$ .

现在，你可以求解出由正 $\text{[math]}$ 边形组成的图形的周长吗？