八边形的面积

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平行四边形里的八边形面积是多少?

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题目

如图, 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中, 连接所有顶点和其对边中点可围成一个八边形, 则该八边形的面积与平行四边形的面积之比是__________.

选项

$\text{[math]}$

2022年04月27日 08:00

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如图, 在平行四边形 $\text{[math]}$ 中, $\text{[math]}$ 是各边中点. 将每个顶点和一条对边中点相连可围成一个平行四边形, 则该平行四边形面积占整个图形面积比是多少?

根据平行四边形的性质, 利用三角形全等可以证明分割线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 平行, 分割线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 平行.

为了便于观察, 我们将白色区域中一个梯形和一个小三角形区域填充为橘黄色, 如图所示. 将三角形顺时针旋转 $\text{[math]}$ , 根据等底等高求面积, 易证三角形和梯形拼成的新图形与绿色区域面积相等且全等.

同理, 外围的白色区域中, 任意一个梯形和一个小三角形都可以组成与绿色区域全等的形状.

因此绿色区域面积占整个平行四边面积的 $\text{[math]}$ .

那么再加四条线段后, 新的图形又占多少面积呢?