抛物线上的圆

110

10

1

抛物线和圆之间的区域面积有多大?

challenge_title

完成本期挑战需要达到：

本科数学水平

10 名读者已经挑战成功

题目

如图所示, 半径为 $\text{[math]}$ 的圆与抛物线 $\text{[math]}$ 相切于两点. 则圆和抛物线之间的区域面积是 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年05月25日 08:00

有 0 人认为该挑战有问题

报告问题

如图所示, 半径为1的圆与抛物线 $\text{[math]}$ 相切于两点. 则圆心的坐标是多少?

显然圆心在 $\text{[math]}$ 轴上. 由于圆的半径固定为 $\text{[math]}$ 可以想象如果将圆心往上移动，则圆和抛物线就不会相切，因此圆心到切点的距离可以看成是圆心到抛物线上的点的距离的最小值. 从这个角度入手, 这个问题就迎刃而解了. 下面给出具体解答过程.

设圆心为 $\text{[math]}$ , 抛物线上任意点为 $\text{[math]}$ . 则圆心到抛物线上任意点的距离为

$\text{[math]}$

其最小值 $\text{[math]}$ .

求导得

$\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时有

$\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时, $\text{[math]}$ , 因为圆的半径为 $\text{[math]}$ 此时圆与抛物线的顶点相切, 不满足题意.

当 $\text{[math]}$ 时, $\text{[math]}$ . 代入 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ .

则圆心坐标为 $\text{[math]}$

那么根据这个结果, 你能进一步求出切点的坐标以及圆和抛物线之间的区域面积吗？