缺失的书页

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一本书籍被撕去了一张, 你能找到是哪一页吗?

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完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

10 / 20 读者挑战成功

题目

一本书被撕掉了一张, 剩下书页的页码之和恰好等于 $\text{[math]}$ . 若该书的页码是连续的且仅用阿拉伯数字标记, 则撕下的那张纸上的两个页码是__________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年05月06日 08:00

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一本书被撕掉了一张, 剩下书页的页码之和恰好等于 $\text{[math]}$ . 若该书的页码是连续的且仅用阿拉伯数字标记, 则这本书可能有多少页？

设该书的最大页码为 $\text{[math]}$ , 则从页码1开始，连续的自然数相加到 $\text{[math]}$ , 页码总和等于 $\text{[math]}$

又设被撕掉的书页页码为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ , 由于被撕掉的页码不可能大于 $\text{[math]}$ , 故 $\text{[math]}$

根据题意, 有等式

$\text{[math]}$ .

乍一看, 不定方程, 二次, 有点繁, 也有点烦.

但我们可以估算呀, 由于 $\text{[math]}$ 忽略一次项,

则 $\text{[math]}$

还是不太好计算, 再次忽略一次项,

有 $\text{[math]}$ .

列举几个可能的最大页码数 $\text{[math]}$ 的取值, 对应的页码总和由公式 $\text{[math]}$ 给出.

$\text{[math]}$

观察上表, 显然 $\text{[math]}$ 时, 页码总和就小于 $\text{[math]}$ .

而 $\text{[math]}$ 时, $\text{[math]}$ 即使撕掉最后一张, 也不可能使得页码总和等于 $\text{[math]}$ .

当 $\text{[math]}$ 时, 若撕掉最后一张纸, 剩下页码总和也是大于 $\text{[math]}$ 的.

因此 $\text{[math]}$ .

所以这本书可能有 $\text{[math]}$ 或者 $\text{[math]}$ 页.