掷出两个一点

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两个骰子的点数都是1的概率是多少?

完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

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题目

随机掷出两个均匀的骰子, 已知至少有一个骰子的点数是1, 则两个骰子的点数都是1的概率是 __________.

选项

$\text{[math]}$

2022年06月10日 08:00

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袋子里一共有三张牌, 牌1两面都是蓝色, 牌2两面都是红色, 牌3正面是蓝色, 反面是红色.

现在随机抽取一张牌放到桌上, 若朝上的一面是蓝色, 则另一面也是蓝色的概率是多少?

凭直觉你可能会回答 $\text{[math]}$ , 我猜对了吗？

可惜这是典型的错误答案. 其想法是：既然随机抽取到的牌朝上的一面是蓝色, 那么这张牌肯定是牌1或牌3, 所以如果抽到的是牌1，则另一面是蓝色, 如果抽到的是牌3，则另一面是红色, 由于抽到牌1或牌3的概率是相等的, 因此所求概率便是 $\text{[math]}$ .

问题出在哪里？

由于牌1两面都是蓝色，所以若抽到牌1，朝上的一面可以是正面，也可以是反面，这是两个结果. 所以解决这个问题，我们要写清楚所有等可能的基本事件, 即随机抽取一张牌，朝上一面的颜色一共有6种结果，如下图所示：

其中朝上的一面是蓝色的为情况1, 2, 5, 总共3种.

在此基础上，另一面也是蓝色的情况是1, 2, 共2种.

因此在抽到的牌朝上一面是蓝色的基础上, 另一面也是蓝色的概率等于 $\text{[math]}$

其实这是条件概率问题, 我们也可以用条件概率公式进行求解：

设事件 $\text{[math]}$ 表示"抽到的牌另一面是蓝色", 事件 $\text{[math]}$ 表示"抽到的牌朝上的一面是蓝色". 根据前面列出的所有等可能性事件, 可得 $\text{[math]}$ .

进一步用事件 $\text{[math]}$ 表示“抽到的牌两面都是蓝色”, 于是概率为 $\text{[math]}$ .

因此在抽到的牌朝上一面是蓝色的基础上, 另一面也是蓝色的概率等于

$\text{[math]}$