方圆几何

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正方形和圆无限嵌套后, 绿色区域面积是多少呢?

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高中数学水平

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题目

在边长为 $\text{[math]}$ 的正方形内作一个内接圆, 然后在圆里作一个内接正方形, 重复无穷多次后, 图中阴影部分面积等于__________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年04月01日 08:00

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由于空气阻力和摩擦力, 某一类钟的钟摆每摆动一次的弧长都是其上一次摆动的弧长的 $\text{[math]}$ . 假设这个钟摆能无限次摆动, 并且假设第一次摆动的弧长为 40 厘米, 求所有摆动的弧长之和.

设该钟摆在第 $\text{[math]}$ 次摆动的弧长为 $\text{[math]}$ 厘米.

依题意, $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 是首项为 40, 公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列.

所以通项公式 $\text{[math]}$

前 $\text{[math]}$ 次摆动的弧长之和为 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

因为 $\text{[math]}$ , 所以 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

因此, 所有摆动的弧长之和为 800 厘米.

此问题公比 $\text{[math]}$ 的绝对值小于 1 的无穷等比数列问题.

一般地, 若无穷等比数列 $\text{[math]}$ 的公比 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ , 则其前 $\text{[math]}$ 项和为

$\text{[math]}$

特别的, 若 $\text{[math]}$ , 则 $\text{[math]}$ , 于是

$\text{[math]}$ 存在,

且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

我们把公比 $\text{[math]}$ 满足: $\text{[math]}$ 的无穷等比数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ 的极限值叫做该无穷等比数列的各项和, 用符号 $\text{[math]}$ 表示, 即 $\text{[math]}$ .