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三顶帽子测试

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三人参加了一场猜帽子颜色的测试, 你能帮他们找到最优策略吗?

完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

7 名读者已经挑战成功

题目

A, B, C三个学生参加一场测试: 每人随机得到红色或黄色的帽子, 并且能看到其他人的帽子, 但看不到自己的.

每人需要在"红色", "黄色"或"不作答"中选一个, 如果至少有一人猜对了他自己的帽子颜色, 没有人猜错, 则通过测试.

否则（即如果至少有一个人猜错或他们都写了"不作答"）就会失败.

一旦进入考场就不允许以任何方式相互交流, 那么最优策略下他们获胜的概率为 __________.

选项

$\text{[math]}$

2022年02月11日 08:00

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三顶帽子的问题

A, B, C三人参加一场测试:每人随机得到红色或黄色的帽子, 能看到对方的帽子, 但看不到自己的. 每人需要在"红色", "黄色"或"不作答"中选一个, 如果至少有一个学生猜对了他自己的帽子颜色, 没有人猜错, 则通过测试. 否则（即如果至少有一个人猜错或他们都写了"不作答"）就会失败. 一旦进入考场就不允许以任何方式相互交流, 用什么策略可以通过测试?

这个问题来自于加利福尼亚大学欧文分校的计算机科学讲师托德·伊伯特博士. 正式的问题一共有七位参赛者, 在这里我们讨论三位参赛者的情况.

商量策略

如果让A和B都写"不作答", 而C写"红色", 那么如果C的帽子是红色就会成功, 如果他的帽子是黄色就会失败, 因此获胜的概率为 $\text{[math]}$ . 还有更好的策略吗?

如果让A写"不作答", 而B和C都写"红色", 那么他们只有 $\text{[math]}$ 的概率获胜.

如果他们决定让B和C都猜黄色, 或者让B猜黄色, C猜红色, 获胜的概率都一样, 因为每个人猜对的概率为 $\text{[math]}$ , 因此获胜的概率为 $\text{[math]}$ .

如果他们决定三个人都会猜红色或黄色, 那么只有 $\text{[math]}$ 的概率获胜.

可以看出, 我们需要考虑到对方帽子的颜色来做出判断, 从而影响获胜的概率.

讨论最后, 他们决定让A和B都写"不作答", 如果C看到A和B都戴着红帽子, 他就写上"红色", 否则就写"黄色". 那么这种策略获胜的可能性有多大呢?

A, B, C的帽子颜色可能的组合有 $\text{[math]}$ 种, 即

$\text{[math]}$ 红红红, 红红黄, 红黄红, 黄红红, 红黄黄, 黄红黄, 黄黄红, 黄黄黄 $\text{[math]}$ .

其中只有A, B, C的帽子颜色为 $\text{[math]}$ 红红红, 红黄黄, 黄红黄, 黄黄黄 $\text{[math]}$ 时才会成功, 因此获胜的概率为 $\text{[math]}$ .

综上所述, 目前最高胜率为 $\text{[math]}$ .

你有更好的策略吗?

参考文献

[1] 朱利安·哈维尔著，涂泓译.不可思议？有悖直觉的问题及其令人惊叹的解答[M]. 上海：上海科技教育出版社.2013. 55-59.