半圆里的等腰三角形

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半圆内排列了四个等腰三角形, 如何计算三角形顶角的大小呢?

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完成本期挑战需要达到：

初中数学水平

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题目

如图, 在一个半圆中排列着四个相似的等腰三角形. 则其顶角 $\text{[math]}$ 的大小为 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年01月20日 08:00

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圆周角定理

圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半.

下面给出圆心角小于 $\text{[math]}$ 时的证明(当圆心角大于等于 $\text{[math]}$ 时可以转化为此种情况):

已知在 $\text{[math]}$ 中, 圆心角 $\text{[math]}$ 与圆周角 $\text{[math]}$ 同对弧 $\text{[math]}$ , 求证: $\text{[math]}$ .

【情况一】

当圆心 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的一边上时, 即 $\text{[math]}$ 在同一直线上时:

$\text{[math]}$ 是半径

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ (等边对等角)

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外角

$\text{[math]}$

【情况二】

如图2, 当圆心O在 $\text{[math]}$ 的内部时:

连接 $\text{[math]}$ , 并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于D

根据情况一的结论，有 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

因此 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

【情况三】

如图3, 当圆心 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的外部时:

连接 $\text{[math]}$ , 并延长 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 连接 $\text{[math]}$

根据情况一的结论，有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

因此 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

定理推论

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
半圆（直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角.