非常嫌疑车

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一起肇事逃逸中的目击者声称逃逸车辆为蓝色, 那么真正的逃逸车辆是蓝色吗?

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完成本期挑战需要达到：

本科数学水平

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题目

一名目击者看到一辆出租车肇事逃逸. 他告诉警方那辆出租车是蓝色的. 若在类似的案件中目击者证词正确概率为 $\text{[math]}$ , 且当地有 $\text{[math]}$ 的出租车是蓝色, $\text{[math]}$ 是绿色. 若当地只有这两种颜色的出租车, 则肇事逃逸车辆是蓝色的概率是__________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2022年01月05日 08:00

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报告问题

嫌疑车辆

一名目击者看到一辆出租车肇事逃逸. 他告诉警方那辆出租车是蓝色的. 若当地有 $\text{[math]}$ 家出租车公司 $\text{[math]}$ , 每家公司的出租车颜色都不相同. 在类似的案件中, 证人有 $\text{[math]}$ 的概率能正确识别出租车的颜色. 且当地有 $\text{[math]}$ 的出租车是蓝色的, 那么肇事车辆确为蓝色的概率是多少？

数学家断案

设 $\text{[math]}$ 为除蓝色以外的颜色总数, 即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ . 其他颜色记作 $\text{[math]}$ .

考虑100种可能的情况, 每种情况的概率是相同的. 我们预计有85种情况中肇事车辆为蓝色, 其他15种情况在其他 $\text{[math]}$ 种颜色之间平均分配.

若肇事车辆为蓝色, 则证人有 $\text{[math]}$ 的概率报告蓝色, 或者以 $\text{[math]}$ 的概率报告其他颜色.

若肇事车辆为 $\text{[math]}$ , 证人将报告蓝色或其他颜色(例如 $\text{[math]}$ )的概率为 $\text{[math]}$ , 而 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ .

每种情况都可以用下表显示

$\text{[math]}$

因此, 出租车确实是蓝色的概率为

$\text{[math]}$

随着出租车公司数量的增加, 蓝色出租车真的卷入事故的概率越来越接近100%.

换个颜色

现在我们来看看, 如果目击者报告的是其他颜色会发生什么?这种情况下, 肇事车辆确实为 $\text{[math]}$ 的概率是多少？

这一次我们使用表格中 $\text{[math]}$ 所在行. 因此, 该出租车是 $\text{[math]}$ 的概率为

$\text{[math]}$

随着出租车公司数量的增加, 肇事车辆颜色为 $\text{[math]}$ 的概率下降到 $\text{[math]}$ .