母牛生小母牛

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母牛出生三年后可以繁衍, 8年后牧场会有多少只母牛呢?

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完成本期挑战需要达到：

大众数学水平

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题目

假设某种母牛在出生后的头三年（包括出生当年）不能生育, 但3年之后每年生一只小母牛. 若牧场现在有一只母牛，该母牛第二年开始可以生育, 期间所有牛都不会死且均可以生育, 则第8年该牧场有 __________只母牛.

选项

9

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29

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2022年06月21日 08:00

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兔子繁殖问题

假设某种兔子在出生的第1个月不能生育,但2个月之后每月生一对(一雌一雄)兔子. 开始时, 假设有一对新生的兔子, 且不考虑兔子的死亡. 问: 在第7个月月初共有多少对兔子?

这个问题可以用递推的思想来求解. 令 $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 个月月初兔子的总数. 根据已知的信息,第1个月月初兔子 $\text{[math]}$ 总对数为

$\text{[math]}$

在第2月月初, 因为兔子 $\text{[math]}$ 没有生育, 所以

$\text{[math]}$

这些是初始条件. 到第3个月月初, $\text{[math]}$ 生育了子女, 子女记作 $\text{[math]}$ . 现在共有兔子2对, 即

$\text{[math]}$ 到第4个月月初, $\text{[math]}$ 生育了子女 $\text{[math]}$ , 然而 $\text{[math]}$ 尚不能生育, 所以

$\text{[math]}$

到第5个月月初, $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都生小兔, 所以

$\text{[math]}$

到第6个月月初, 在第4个月存活的3对兔子都生育小兔, 所以

$\text{[math]}$

到第7个月月初,在第5个月存活的5对兔子都生育小兔, 所以

$\text{[math]}$

递推关系

一般地, 注意到下个月月初增加的兔子对数等于上个月存活的兔子对数. 这就是,

第 $\text{[math]}$ 个月月初兔子对的总数 = 第 $\text{[math]}$ 个月月初兔子对的总数 + 第 $\text{[math]}$ 个月月初兔子对的总数

这样生成了下列递推关系

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 的递推关系定义为:

$\text{[math]}$

现在可以计算 $\text{[math]}$ 的任意一项. 初始条件是:

$\text{[math]}$

由 $\text{[math]}$ 的递推关系, 可得 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 数列叫做斐波那契数列. 它的项称为斐波那契数.