经典的走楼梯问题

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数列组合递推关系

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老少皆宜 -- 2022年01月25日

摘要

有十级台阶的楼梯，每步走一级或两级台阶，问有多少种走完楼梯的方法数？

假设某种兔子在出生的第1个月不能生育,但2个月之后每月生一对(一雌一雄)兔子. 开始时, 假设有一对新生的兔子, 且不考虑兔子的死亡. 问: 在第7个月月初共有多少对兔子?

这个问题可以用递推的思想来求解. 令 $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 个月月初兔子的总数. 根据已知的信息,第1个月月初兔子 $\text{[math]}$ 总对数为

$\text{[math]}$

在第2月月初, 因为兔子 $\text{[math]}$ 没有生育, 所以

$\text{[math]}$

这些是初始条件. 到第3个月月初, $\text{[math]}$ 生育了子女, 子女记作 $\text{[math]}$ . 现在共有兔子 2对, 即

$\text{[math]}$ 到第4个月月初, $\text{[math]}$ 生育了子女 $\text{[math]}$ , 然而 $\text{[math]}$ 尚不能生育,所以

$\text{[math]}$

到第5个月月初, $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 都生小兔, 所以

$\text{[math]}$

到第6个月月初, 在第4个月存活的3对兔子都生育小兔, 所以

$\text{[math]}$

到第7个月月初,在第5个月存活的5对兔子都生育小兔, 所以

$\text{[math]}$

一般地, 注意到下个月月初增加的兔子对数等于上个月存活的兔子对数. 这就是,

第 $\text{[math]}$ 个月月初兔子对的总数 = 第 $\text{[math]}$ 个月月初对的总数 + 第 $\text{[math]}$ 个月月初兔子对的总数

这样生成了下列递推关系

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 的递推关系定义为:

$\text{[math]}$

现在可以计算 $\text{[math]}$ 的任意一项. 初始条件是:

$\text{[math]}$

由 $\text{[math]}$ 的递推关系, 可得 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 数列叫做斐波那契数列. 它的项称为斐波那契数.

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题目

有十级台阶的楼梯，每步走一级或两级台阶，那么走完这十级台阶, 一共有 __________种方法？

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