切线交点的轨迹

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抛物线有两条相互垂直的切线, 切线的交点轨迹是什么图形?

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完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

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题目

点 $\text{[math]}$ 到抛物线 $\text{[math]}$ 有两条相互垂直的切线, 则点 $\text{[math]}$ 的轨迹是 __________.

选项

直线

圆形

椭圆形

抛物线

2021年11月26日 08:00

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给定一个椭圆, 若椭圆外一点 $\text{[math]}$ 到椭圆有两条垂直的切线, 则点 $\text{[math]}$ 的轨迹是什么图形呢?

不妨设椭圆方程为

$\text{[math]}$

下面我们将证明点 $\text{[math]}$ 的轨迹是一个以原点为圆心, 半径为 $\text{[math]}$ 的圆.

设 $\text{[math]}$ 是椭圆的切线（斜率存在）.

则关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 有两个相等的实数根, 我们将该方程改写为

$\text{[math]}$

由于这个方程有两个相等的实数根, 因此判别式 $\text{[math]}$ , 即

$\text{[math]}$

解得

$\text{[math]}$

设 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ . 因为切线通过点 $\text{[math]}$ , 所以 $\text{[math]}$ , 因此

$\text{[math]}$

由于从点 $\text{[math]}$ 到椭圆的两条切线相互垂直, 方程的两个根 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为切线斜率，满足 $\text{[math]}$ ,

因此可以得出

$\text{[math]}$

可以验证斜率不存在时切线的交点也满足这个方程.

这是一个以原点为圆心, 半径为 $\text{[math]}$ 的圆的方程.