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取扑克牌游戏

给你一副扑克牌, 抽到红牌奖金增加, 抽到黑牌奖金减少. 如何可以使利益最大化?

完成本期挑战需要达到：

本科数学水平

1 名读者已经挑战成功

题目

一副扑克牌52张，其中26张红牌,26张黑牌，充分洗牌后，牌面向下放置，现在你可以随机取牌，每次取一张. 如果抽到红牌奖金增加一元，抽到黑牌奖金减少一元. 并且抽出来的牌不会再放回牌堆. 你的策略是如果持有的奖金多于赌博的预期收益, 就停止. 那么如果你目前抽到了4张红牌，0张黑牌，此时游戏该继续还是停止？ __________

选项

继续

停止

都可以

慕容玖

2021年10月06日 08:00

概率

数学期望

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取扑克牌游戏

一堆扑克牌共6张牌，其中3张红牌3张黑牌无顺序的放置在一起并且牌面都朝下, 现在你可以一张一张地从上到下拿牌. 如果抽到红牌奖金增加一元，抽到黑牌奖金减少一元. 你可以在任何时候停止, 抽到的牌不会再放回牌堆.

那么最佳的停止取牌的规则是什么？

这是一个很有意思的问题. 你不妨拿一副扑克牌来试一试.

我们的策略是，每次抽牌后我们都要比较一下持有的奖金和赌博的预期收益. 如果我们持有的奖金多于赌博的预期收益, 我们就该停止.

因此我们需要计算每次抽牌后的奖金以及穷举出所有情况下的预期收益.

计算奖金

每种情况下的奖金数很容易计算：设红牌剩余数量为 $\text{[math]}$ , 黑牌剩余数量为 $\text{[math]}$ . 因为抽到的红牌数量是 $\text{[math]}$ , 那么奖金就是 $\text{[math]}$ . 即任意单元格的奖金为 $\text{[math]}$ .

具体如下表格：

计算期望即预期收益

设红牌剩余数量为 $\text{[math]}$ , 黑牌剩余数量为 $\text{[math]}$ .

当 $\text{[math]}$ 时，也就是黑牌都取完了，剩余的都是红牌，此时奖金是负数，不管怎样都要取下去，直到取完牌奖金为0为止. 因此此时期望均为0.

当 $\text{[math]}$ 时，也就是红牌都取完了，剩余的都是黑牌，此时就应该停止. 期望为当前的将金数.

现在来计算 $\text{[math]}$ 的情况，此时取牌， $\text{[math]}$ 的概率取到1张黑牌( $\text{[math]}$ 期望为0)， $\text{[math]}$ 的概率取到1张红牌( $\text{[math]}$ 期望为1)，因此预期收益为 $\text{[math]}$ .

一般的，设 $\text{[math]}$ 为剩余 $\text{[math]}$ 张红牌， $\text{[math]}$ 张黑牌时的期望即预期收益，则有递推关系 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$

比如，计算 $\text{[math]}$ 的预期收益, 在此处有 $\text{[math]}$ 的概率取到1张黑牌( $\text{[math]}$ 期望为0.5)， $\text{[math]}$ 的概率取到1张红牌( $\text{[math]}$ 期望为2), 因此预期收益为 $\text{[math]}$ .

所有情况的期望如下表格:

结论

只要比较两张表格中同一格数据，当我们目前持有的奖金不低于赌博的期望时, 我们就该停止，否则就继续.

因此图中有颜色的格子都应该继续.