堆纸箱

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2

把规格相同的纸箱随机堆放, 最终高度为41厘米的堆放方式有多少种?

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完成本期挑战需要达到：

本科数学水平

3 名读者已经挑战成功

题目

十个规格为 $\text{[math]}$ (单位:厘米)大小相同的纸箱. 第一个纸箱水平放在地板上, 其余九个依次摆放在前一个纸箱的上方, 且在摆放的过程中方向具有随意性. 若纸箱堆放高度为41厘米，则共有 __________种摆放方式.

选项

2560

3300

4250

5130

2021年09月29日 08:00

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排列

从 $\text{[math]}$ 个不同元素中取出 $\text{[math]}$ 个不同元素, 排成一列, 称为从 $\text{[math]}$ 个元素中取出 $\text{[math]}$ 个元素的无重复排列, 简称排列.

从 $\text{[math]}$ 个不同元素中取出 $\text{[math]}$ 个不同元素的所有不同排列的个数称为排列数, 记为 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

举个例子：赛马投注, 有8匹马参加比赛, 比赛前玩家需要在彩票上填入前三胜出的马匹的号码, 那有多少种情况呢？

从8匹马中取出3匹马来排前3名, 排列数为： $\text{[math]}$ .

上面的例子是建立在取出元素不重复出现的情况.

组合

从 $\text{[math]}$ 个不同元素中取出 $\text{[math]}$ 个不同元素, 组成一组, 称为从 $\text{[math]}$ 个元素中取出 $\text{[math]}$ 个元素的组合.

从 $\text{[math]}$ 个不同元素中取出 $\text{[math]}$ 个不同元素的所有不同组合的个数称为组合数, 记为 $\text{[math]}$ .

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

重复元素排列

把1个红球和2个相同的黑球排成一列, 一共有多少种不同的排法?

方法一: 我们可以用 $\text{[math]}$ 来为唯一的红球在3个位置中选择1个. 因此一共有3种不同的排法.

方法二: 我们首先将1个红球和2个黑球用 $\text{[math]}$ 表示. 则用穷举法可以表示出3种不同的排法:

$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ .

如果我们把黑球也看成不同的元素, 即 $\text{[math]}$ , 则不同的排法共有 $\text{[math]}$ 种. 穷举:

$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ ,
$\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ .

我们可以看到, 如果把黑球看成不同的元素, 则黑球的每一组排列方式都会和红球进行新的排列,

因此在计算时我们需要在全排列中去除重复的排列.

因此不同的排列数为 $\text{[math]}$ 种.