正四面体上的蚂蚁

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正四面体的顶点上有四只蚂蚁, 它们同时沿棱爬行, 有多少概率它们不会相遇?

完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

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题目

四只蚂蚁在一个正四面体的顶点上. 每只蚂蚁随机选择一个方向, 开始沿着正四面体的棱爬行到下一个顶点. 若蚂蚁爬行速度相同, 则蚂蚁之间不会相遇的概率是 __________.

选项

$\text{[math]}$

慕容玖

2021年10月22日 08:00

立体几何

条件概率

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三只蚂蚁在一个等边三角形的顶点上. 每只蚂蚁随机选择一个方向, 开始沿着三角形的边缘爬行到下一个顶点. 若蚂蚁爬行速度相同, 则蚂蚁之间不会相遇的概率是多少？

为了不发生相遇, 只能要求所有的蚂蚁都朝同一方向爬行, 即都顺时针或者逆时针爬行. 若蚂蚁都沿顺时针方向爬行, 则概率是 $\text{[math]}$ . 同理, 都沿逆时针方向爬行的概率也为 $\text{[math]}$ . 这两种情况是互斥的, 所以将概率相加得所求概率为 $\text{[math]}$ .

由于三只蚂蚁是互相不交流的，所以利用独立事件积的概率公式，我们可以依次考虑三只蚂蚁的选择, 不论第一只蚂蚁选择哪个方向, 只要确保第二只蚂蚁的方向与第一只相同即可, 此时概率为 $\text{[math]}$ . 第三只蚂蚁也需要与前两只蚂蚁方向相同. 因此三只蚂蚁爬行方向相同的概率为 $\text{[math]}$ ，即为蚂蚁之间不会相遇的概率.

根据以上思考过程，这个问题自然可以推广到正 $\text{[math]}$ 边形的情况. 对正 $\text{[math]}$ 边形每个顶点上的蚂蚁，蚂蚁之间不会相遇的概率为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ . 这样，我们可以很快地计算出对于一个正方形, 四只蚂蚁不会相遇的概率是 $\text{[math]}$ .

那么对于一个正四面体呢，蚂蚁不会相遇的概率又是多少呢?