证明人人都一样高

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学了数学归纳法，证明了这个世界上的每个人身高都相同！

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完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

10 名读者已经挑战成功

题目

我们将利用数学归纳法证明, 对于任意 $\text{[math]}$ 个人构成的一个团体, 其中每个人的身高都相同.

①取 $\text{[math]}$ 时, 这个命题显然成立.

下面将证明如果这个命题对 $\text{[math]}$ 个人成立, 即假设任何 $\text{[math]}$ 个人都有相同的身高, 那么对于 $\text{[math]}$ 个人, 命题也成立.

考虑编号为 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 个人构成的团体.

②如果我们去掉编号 $\text{[math]}$ 的这个人, 那么剩下的 $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个人, 根据假设身高都相同.

③同样的, 如果我们去掉编号 $\text{[math]}$ 的这个人, 那么剩下的 $\text{[math]}$ 这 $\text{[math]}$ 个人, 根据假设身高也都相同.

④根据②和③, 由于其中 $\text{[math]}$ 这些人是公共的, 因此编号 $\text{[math]}$ 的这个人与其余 $\text{[math]}$ 个人有相同的身高. 因此 $\text{[math]}$ 个人的团体中每个人的身高都相同.

⑤根据数学归纳法, 可得这个世界上的每个人身高都相同！

这显然是很荒谬的结论, 那么出错的是 __________.

选项

①

②

③

④

⑤

2021年10月08日 08:00

数学归纳法

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随着对自然数性质研究的深入，数学家们找到了一种证明与自然数 $\text{[math]}$ 有关的数学命题的简单有效的方法，具体步骤如下:

（1）证明当 $\text{[math]}$ 取第一个值 $\text{[math]}$ 时，命题成立；

（2）假设 $\text{[math]}$ 时命题成立，证明当 $\text{[math]}$ 时命题也成立.

在完成了上面两个步骤后，我们就可以断定命题对于从 $\text{[math]}$ 开始的所有自然数都 $\text{[math]}$ 都成立，这种证明方法叫做数学归纳法.

就好比是多米诺骨牌，推倒第一块，并且保证后面的每一块倒下都会带动其后的一块骨牌倒下，于是所有的骨牌都会倒下.

举个例子, 用数学归纳法证明下列命题：如果数列 $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，那么 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 都成立.

证明：（1）当 $\text{[math]}$ 时，左边等于 $\text{[math]}$ ，右边等于 $\text{[math]}$ ，所以等式成立.

（2）假设当 $\text{[math]}$ 时等式成立，即 $\text{[math]}$ 成立,

那么当 $\text{[math]}$ 时，根据等差数列定义有 $\text{[math]}$ 根据假设有 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$ , 等式也成立.

根据（1）和（2）可以断定， $\text{[math]}$ 对任何 $\text{[math]}$ 都成立.

今天的挑战题就是根据数学归纳法推得的一个结论，你觉得有问题吗？