体积比大小

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4个小球放在一个大球内，求阴影部分体积大小.

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完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

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题目

体积为 $\text{[math]}$ 的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点. 如图是俯视图，若记 $\text{[math]}$ 为小球相交部分（图中红色阴影部分）的体积， $\text{[math]}$ 为大球内、小球外（图中绿色部分）的体积，则下列关系中正确的是 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

2021年11月12日 08:00

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如图，在圆心角为直角的扇形 $\text{[math]}$ 中，分别以 $\text{[math]}$ 为直径作两个半圆，则图中两块阴影部分面积 $\text{[math]}$ 的大小关系怎样的？

这道题其实是很经典的一个问题，如果你很熟悉解题方法，那可以跳过下面内容直接进入今日的挑战题.

本题一种解法是，直接计算这两块图形的面积，但题目只是让我们比较大小，所以还有更简便的方法吗？

有！让我们将问题转化，将不容易计算的阴影面积转化为容易计算的扇形，圆形面积.

根据图中标示可得，半圆面积 $\text{[math]}$ ，扇形 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ ．

设 $\text{[math]}$ ，则扇形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，两个半圆的面积为 $\text{[math]}$ .

因此有 $\text{[math]}$ ,

即 $\text{[math]}$ .

啊哈，原来面积相等啊.

让我们将圆改成球，在立体几何中来看类似的一个问题，你能用类似的方法来求解吗？

提示：球体积公式 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为球的半径.