约瑟夫问题是一个经典的算法问题.

人们围成一圈，从圆圈中的指定位置开始计数，并沿指定方向绕圆圈进行. 在跳过指定数量的人之后，处刑下一个人. 对剩下的人重复该过程，从下一个人开始，继续朝同一方向跳过相同数量的人，直到只剩下一个人，并被释放.

那么问题来了，给定人数、起点、方向和要跳过的数字，选择初始圆圈中的哪个位置可以避免被处决呢？

这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，他是1世纪的一名犹太历史学家. 他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中. 他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀. 自杀方式是41个人围成一个圆圈，由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止. 然而约瑟夫和他的朋友并不想死. 由于这个过程沿着圆圈一直进行，直到最终只剩下一个人，这个人就可以继续活着. 于是约瑟夫要他的朋友先假装遵从，他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置，于是逃过了这场死亡游戏.

这个问题有很多种解决的办法，但是大多数情况下都需要计算机的帮助. 那有没有一种情况我们可以直接口算呢？答案是有的.

当报数到第二个人就得自杀，并且总人数是 $\text{[math]}$ 时，活下来的肯定是第一个人.

以16人为例：

可以看出每一轮结束后总人数减半，仍然是 $\text{[math]}$ ，因此1号活到了最后.

那么按照这个游戏规则当人数为100人时，站在哪里会生存下来呢？