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变瘦的三角形

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一个三角形经无限次迭代后，它的周长和面积是否一定是无穷大呢？

完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

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题目

下面的分形图由无穷多个三角形组成, 它们的底边位于 0 到 1 之间的数轴上.

每次迭代时, 我们都会在前一个三角形的左侧添加另一个三角形. 底边长比前一个三角形的小, 但高相同 , 都为10. 如图, 前四个三角形底边的端点坐标已知, 那么经过无限次迭代后, 所有三角形的总面积是__________.

选项

$\text{[math]}$

慕容玖

2021年08月13日 08:00

分形

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科赫雪花

从一个等边三角形开始, 我们可以通过递归, 重复以下过程来创建一个复杂的图形：

将三角形的每一边分成三份. 以中间的三分之一为底, 在三角形的另一边画一个等边三角形. 然后, 擦除中间的三分之一.

下面四幅图是这个过程的前几次迭代：

经过无限次迭代后, 图形会是什么样？实际上我们无法绘制它, 但我们可以计算它的周长和面积. 结果可能会让你大吃一惊！

上面描绘的图称为科赫雪花. 它属于一个广泛的几何图形类别, 称为分形. 定义分形的方法有很多种, 其中一种方法是取一个几何图形, 并无限多次应用相同的过程进行迭代.

科赫雪花的周长

因为分形与无穷大有关, 所以它具有一些有趣的几何特性. 以科赫雪花为例：

雪花的周长从一次迭代到下一次迭代是如何变化的呢？

每条线段被 4 条更小的线段替换, 所以线段的数量是原来的 4倍.
每条线段的长度是原来的 $\text{[math]}$ .

从一次迭代到下一次, 雪花的周长是原来的 $\text{[math]}$ 经过无限次迭代, 初始周长乘以 $\text{[math]}$ 的无限次. 因为 $\text{[math]}$ , 所以科赫雪花的周长随着每次迭代而增长, 即具有无限的周长.

科赫雪花的面积

雪花的面积也随着每次迭代而增长, 它是否也是无限的呢？我们从一个三角形开始, 令它的面积为 9.

在第一次迭代中, 增加了 $\text{[math]}$ 个较小的三角形（每边一个）. 如上所述, 那些较小的三角形的边长是原始三角形边长的 $\text{[math]}$ . 因为所有三角形都是等边的, 所以它们互相相似. 那么每个小三角形的面积是 $\text{[math]}$ 乘以原始三角形的面积, 即 $\text{[math]}$

因此, 在第一次迭代中, 三个较小三角形相加的面积为 $\text{[math]}$

在第二次迭代中, 边数是第一次迭代的 4 倍. 而且, 由于边长缩小 $\text{[math]}$ , 三角形面积缩小 $\text{[math]}$ . 那么在第一次和第二次迭代中增加的面积是

$\text{[math]}$ .

当我们从一次迭代继续到下一次迭代时, 增加的三角形数量乘以 4, 而这些三角形的面积乘以 $\text{[math]}$ . 这意味着面积和中的每一项都是前一项乘以 $\text{[math]}$ .也就是说, 我们可以将增加的总面积写为当我们从一次迭代继续到下一次迭代时, 增加的三角形数量乘以 4, 而这些三角形的面积乘以 $\text{[math]}$ . 这意味着面积和中的每一项都是前一项乘以 $\text{[math]}$ .也就是说, 我们可以将增加的总面积写为

$\text{[math]}$

这种和的形式, 其中无限多的每一项都是前一项的 $\text{[math]}$ 倍, 称为 几何级数.

当几何级数的第一项是 $\text{[math]}$ 时, $\text{[math]}$ 总和为 $\text{[math]}$

当 $\text{[math]}$ 时, 总和为无穷大.

（在分形中 $\text{[math]}$ 是非负的, 所以不需要考虑 $\text{[math]}$ . ）

因为 $\text{[math]}$ 科赫雪花的面积实际上是有限的. 当初始三角形的面积为 9 时, 迭代增加的三角形面积和是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的几何级数, 即 $\text{[math]}$ . 所以, 这个科赫雪花的总面积是 $\text{[math]}$ .

我们已经证明, 尽管有无限的周长, 但科赫雪花的面积是有限的！这是分形看似矛盾的特性但又有趣的经典示例.

在今天的挑战中, 你还会发现分形的什么特性呢？