三人决斗游戏

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在一场三人决斗游戏中, 你的技能最低，选择一个最优策略可以让你存活的概率最大，概率是多少呢？

完成本期挑战需要达到：

高中数学水平

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题目

A, B, C三人安排了一场三人决斗游戏. A枪法最差, 平均3次射击只能1次击中目标；B稍好一些, 平均3次射击有2次击中目标；C枪法最好, 每次都能击中目标.

为了使决斗比较公平, 他们让A第一个开枪, 然后是B(如果他还活着), 再接着是C(如果他还活着). 由于B和C都认为对方的威胁最大, 所以会优先击杀对方.

所以A决定B和C其中一人倒下前都放空枪, 那么最后A存活的概率为__________.

选项

$\text{[math]}$

2021年08月20日 08:00

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A, B, C三人安排了一场三人决斗游戏.

A枪法最差, 平均3次射击只有1次击中目标；B稍好一些, 平均3次射击有2次击中目标；C枪法最好, 每次都能击中目标.

为了使决斗比较公平, 他们让A第一个开枪, 然后是B(如果他还活着), 再接着是C(如果他还活着). 由于B和C都认为对方的威胁最大, 所以会优先击杀对方.

这种情况下A最优的策略是什么呢?

假设A先击杀B, 如果成功了C就会击杀A. 如果失败了那下一轮再生存的概率肯定更加渺茫. 所以A先击杀C会更好一些, 如果成功了, A有 $\text{[math]}$ 的概率能躲过B的枪击, 之后就有机会击杀B活下来.

其实最优的策略是故意朝空气开枪, 等待BC其中一人倒下后再击杀剩下一人. 如果B先击杀C, 那么此时轮到A开枪, 有 $\text{[math]}$ 的概率可以击杀B.

如果C先击杀B, 那么此时轮到A开枪, 也有 $\text{[math]}$ 的概率可以击杀C.

这就是先开第一枪空枪的优势, 能提高存活的概率. 那么你能计算出这种策略下A存活的概率吗?