数一数，有多少个5？

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如何快速判断阶乘中因数的个数？

完成本期挑战需要达到：

本科数学水平

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题目

对任意的正整数 $\text{[math]}$ , 符号 $\text{[math]}$ 表示从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的连续正整数的乘积。如果 $\text{[math]}$ 是和 $\text{[math]}$ 的因数，那么 $\text{[math]}$ 最大为多少？ __________

选项

$\text{[math]}$

慕容玖

2021年03月15日 08:00

函数

约数

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在数学中，正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，记作 $\text{[math]}$

例如 $\text{[math]}$ 的阶乘： $\text{[math]}$ ，其值为 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 如果我们要将一个阶乘进行因式分解，就要去逐个分析其中的每一项.

我们来看这样一个问题：

将 $\text{[math]}$ 因式分解后，问质因数 $\text{[math]}$ 的指数 $\text{[math]}$ 是多少？或者说， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的因数， $\text{[math]}$ 最大是多少？

当我们将 $\text{[math]}$ 展开后： $\text{[math]}$ 只要一个数字是 $\text{[math]}$ 的倍数，就一定包含一个因数 $\text{[math]}$ .那么有几个数是2的倍数呢？ $\text{[math]}$

符号 “ $\text{[math]}$ ”是floor函数，其功能是“向下取整”，即取不大于x的最大整数

“3” 表示阶乘展开后，有 $\text{[math]}$ 个数字是 $\text{[math]}$ 的倍数.

需要注意的是，单个数字中可能包含多个因数 $\text{[math]}$ （比如说 $\text{[math]}$ 的倍数）. $\text{[math]}$

“1” 代表阶乘展开后，有 $\text{[math]}$ 个数字是 $\text{[math]}$ 的倍数.

因为 $\text{[math]}$ 小于 $\text{[math]}$ ，所以我们不再尝试更高的指数.

为了防止重复计算，当数字中包含多个因数 $\text{[math]}$ ，会将之前计算在内的部分排除（本题中，不用将 $\text{[math]}$ 乘2）： $\text{[math]}$ 所以，我们可以得出，将 $\text{[math]}$ 因式分解后，质因数 $\text{[math]}$ 的指数 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ .

尝试用本题的方法来解决问题吧.