假金币

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逻辑算术

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老少皆宜 -- 2021年07月02日

摘要

有10堆外观相同的金币, 其中一堆全是假的, 你能找出来吗?

在计算机, 信息理论和编码理论中, 纠错码是信息传输中错误检测与纠正的工具.

假如现在有一串存储在磁盘上的数字. 你需要验证数据是否正确, 如果不正确的话, 为了节省数据占用空间, 需要用最少的额外数据来识别和纠正错误. 这个额外数据是什么呢？

假设我们希望存储下面8个数的数列:

$\text{[math]}$

我们要计算的额外数据是所有数字的总和 $\text{[math]}$ .

以及将每个数字乘以它的位置, 然后求和.

即 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ (计算机中总是以零开始计数.)

我们将把这两个数字,即总和和位置总和与我们的原始数据放在一起, $\text{[math]}$ .

现在经过传输当我们读取数据时, 有一位数字已经被轻微破坏:

$\text{[math]}$

按照之前的方法重新计算总和和位置总和, 分别得到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ . 将原始值 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 进行比较, 我们可以看到综合的误差大小是 $\text{[math]}$ . 说明其中一个数字减少了 $\text{[math]}$ .

原来的位置总和是 $\text{[math]}$ , 新的计算结果是 $\text{[math]}$ , 这意味着位置总和改变了 $\text{[math]}$ .

我们知道总和误差的大小是 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 除以 $\text{[math]}$ 得到位置 $\text{[math]}$ , 说明第 $\text{[math]}$ 个数字减少了 $\text{[math]}$ .

所以把第 $\text{[math]}$ 个数字 $\text{[math]}$ 改为 $\text{[math]}$ , 我们就恢复了原来的序列.

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