分形求面积

谢尔宾斯基三角形（Sierpinski triangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出。它是自相似集的例子（自相似是近乎或确实和它的一部分相似）.

分形，是几何学术语，通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”.

我们来看这样一个问题.

有一个大三角形，联结三角形各边的中点得到一个小三角形，再联结这个小三角形各边的中点又得到一个更小的三角形，如此无限继续下去.问黄色阴影部分占整个大三角形的面积是多少？

此图可以看成是如下图所示的一系列图形叠加，中间白色区域由下一个同系列的图形填充，如此无限继续下去.

将上图分解成若干个全等的三角形，则有12个黄色三角形，3个蓝色三角形，总共有15个小三角形，因此黄色部分所占比例为, 即 .

将这一系列图形叠加起来，黄色阴影部分占整个大三角形的面积仍是.

今日挑战题，你能看出与本题设计的异曲同工之处吗？尝试用本题的方法来解决问题吧.