六边形上的三角形

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三角形的三个顶点都是所在边的中点,如何证明它是等边三角形呢?

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题目

已知圆的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ . 你能否证明三角形 $\text{[math]}$ 是等边三角形？__________

选项

能

不能

2021年06月07日 08:00

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如图所示,已知圆的半径为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ .

从视觉上看 $\text{[math]}$ 是等边三角形,但是证明它却并不容易.不过为了让人们相信这个结论是正确的.我可以让

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ,

此时图形就变成了正六边形外接了一个圆,

从视觉上看 $\text{[math]}$ 确实是等边三角形. 或者令

$\text{[math]}$

显然 $\text{[math]}$ 是等边三角形. 但是要证明这个结论,有几何和代数方法，代数方法需要下面这个结论：在复数平面中,如果 $\text{[math]}$ 的三点ABC的对应复数分别为 $\text{[math]}$ . 那么当

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 时,

$\text{[math]}$ 为等边三角形. 那么你能用这个结论完成证明吗?