盈不足问题

为了介绍我国古代数学在盈不足术方面的成就，我们先讲一个有趣的故事.

据《唐阙 (quē) 史》记载：公元 年左右，唐代有位大官叫杨损，在选用和提拔行政官吏方面以公正闻名. 一次，有两个办事员，需要提升其中一个. 麻烦的是这两个人的职位相同，工作的时间也同样长，甚至他们得到的评语也完全相同.那么，究竟提拔谁好呢？

负责这项工作的官吏对这件事感到很伤脑筋，便去请示杨损. 杨损仔细考虑了一番，说：“一个办事员的最大优点之一是要算得快。现在就让这两个候补人员都来听我出题，哪一个先得出正确答案，他就该得到提升. ”

他的题是：“有人在林中散步无意间听到几个盗贼在商量怎样分偷来的布匹. 他们说，若每人分 匹，就会剩 匹;若每人分 匹，就会差 匹. 试问，这里共有几个盗贼？布匹总数又是多少？”

杨损让两个候选人员当场在大厅的石阶上用筹进行计算. 不一会，其中一人得出了正确答案，他被提升了. 大家对这个决定也都表示赞成.

英国学者李约瑟在他的著作中曾引用过这个故事，并大书特书，说明解线性方程组的代数问题，在中国唐代曾被用来考核、提升官吏.

这个故事提出的问题，可用二元一次方程组来解，而在两千年前的《九章算术》中，就有很多这类问题. 书中把它们称为“盈不足” 问题，并列出专门一章，给出了完整的解法 ——“盈不足术”.

下面，我们用“盈不足术”解此题.

设盗贼人数为 ，布匹总数为 ，则有： 解得：

， 每人平均分得的匹数为：

一般的，对方程组(1)

有

这种方法，与现代的行列式解法很相像，与加减消元法也是一致的.这就是“盈不足术”.

你能用盈不足术来解今日的挑战题吗？

参考文献：

[1]夏树人, 孙道杠.中国古代数学的世界冠军[M].重庆出版社,1984.

[2] 刘钝. 国学丛书-大哉言数[M].辽宁教育出版社,1993.