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分形面积巧计算

作者:

慕容玖

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无限的分割和涂色

阅读(111)
平面几何 无穷 分形 面积
收录于高中数学 -- 2022年12月23日

无限的分割正方形并将一部分着色, 求着色部分面积.

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如图, 一个正方形被均分成四份, 将左上角四分之一份涂色, 再对右下角四分之一份进行上述操作, 即分割涂色, 如此不断下去, 求着色部分面积是整个正方形面积的 __________.

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    慕容玖

    让我们换个角度来思考这个问题, 以倒置的L形“层”来“构建”原来的正方形. 每一个L形层都由一个着色的正方形和两个相同大小未着色的正方形组成, 且每一层边长为上一层边长的一半.

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    进一步, 每层都有一个彩色正方形和两个相同大小的无色正方形, 因此每层都是着色的. 由于所有L形层拼成了一个完整的正方形. 因此着色部分占比为正方形的.

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