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一道关于求导的缪误

作者:

慕容玖

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学了导数, 证明了2=1？

阅读(318)

谬误导数

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华山论剑 -- 2022年10月12日

摘要

利用求导, 竟然证明了2=1？问题在哪里？

导数（英语：Derivative）是微积分学中重要的基础概念.

一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率. 具体的来讲,

$\text{[math]}$ 表示函数值从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的变化量, 那么

$\text{[math]}$

表示的是从 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 的平均变化率, 如果把 $\text{[math]}$ 趋近于 $\text{[math]}$ , 极限

$\text{[math]}$

存在, 则称函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处可导, 并称这个极限为 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的导数, 记为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ .

根据此定义, 导数也可以这样理解, 就是当函数 $\text{[math]}$ 的自变量在一点 $\text{[math]}$ 上产生一个增量 $\text{[math]}$ 时, 函数输出值的增量与自变量增量的比值, 在 $\text{[math]}$ 趋于0时的极限如果存在, 即为 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的导数.

$\text{[math]}$

寻找已知函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导.

函数在某一点的导数的几何意义是函数在该点切线的斜率, 如图.

所以导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近.

根据导数的定义, 可以求出初等函数的的导数.

比如幂函数 $\text{[math]}$ 的导数是 $\text{[math]}$ .

底数为 $\text{[math]}$ 的指数函数 $\text{[math]}$ 的导数还是自身, 一般的指数函数 $\text{[math]}$ 的导数还需要乘以一个系数: $\text{[math]}$ .

自然对数函数 $\text{[math]}$ 的导数是 $\text{[math]}$ , 同样的, 一般的对数函数 $\text{[math]}$ 导数还需要乘以一个系数： $\text{[math]}$ .

三角函数的导数仍是三角函数, 反三角函数的导数则是无理分式函数.

由初等函数的和、差、积、商或复合函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导. 基本的求导法则如下：其中 $\text{[math]}$ 为函数, $\text{[math]}$ 为常数.

求导的线性性

$\text{[math]}$
积函数的导函数

$\text{[math]}$
商函数的导函数

$\text{[math]}$
复合函数的导函数

如果有复合函数 $\text{[math]}$ , 那么 $\text{[math]}$

若要求某个函数在某一点的导数, 可以先运用以上方法求出这个函数的导函数, 再看导函数在这一点的值.

展开正文...

题目

对于任意的正数 $\text{[math]}$ , 都有 $\text{[math]}$

两边同乘以 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

求导 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

即 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

那么此过程中, 你能发现 __________个错误.

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解答

慕容玖发表于4 个月前

①乘法不是重复的加法, 当x不是整数时, x个怎么表示？假若只能取整数, 那么函数就是不连续的, 后面怎么求导？

所以第一个等式 $\text{[math]}$ 就有问题.

②如果抛开这个问题, 暂时承认它成立, 那么后面求导也是错误的.

$\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 个 $\text{[math]}$ 相加, 将两个 $\text{[math]}$ 分别看成是函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ , 我们不能将 $\text{[math]}$ 拆开成一个个 $\text{[math]}$ , 单独对 $\text{[math]}$ 进行求导.

因为这个数列的项数 $\text{[math]}$ 的值, 同样要取决于 $\text{[math]}$ .

比如假设 $\text{[math]}$ 是相加的数字, $\text{[math]}$ 是这些数字的个数（他们都是 $\text{[math]}$ 的函数）: $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

在本题中, $\text{[math]}$ ,那么 $\text{[math]}$ 就是 $\text{[math]}$ .

也就是我们对整个函数求导, 不仅相加的数字 $\text{[math]}$ 要作为求导的对象, 数字的个数 $\text{[math]}$ 也要进行求导.

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