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作者:

慕容玖

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九位数之谜

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数论 逻辑
收录于华山论剑 -- 2022年08月10日

由数字1到9组成的一个九位数满足“前n位能被n整除”的条件, 你能找出这个数吗?

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共9个数字组成一个无重复数字的九位数, 使得这个数满足“前n位能被n整除”的条件, 也就是第一位能被整除, 前两位组成的两位数能被整除, 前三位组成的三位数能被整除, 以此类推, 一直到整个九位数能被整除. 则这个数的个位数为 __________.

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    慕容玖

    ①设九位数为. 由题意可知奇数位上一定是奇数, 偶数位上一定是偶数. 由于能被5整除, 因此是5.

    该九位数为.

    能被3整除, 能被6整除. 因此能被3整除, 即能被3整除, 经验证可得或者.

    能被4整除, 因此也能被4整除. 又因为为奇数, 所以为2或6. 即有. 即.

    能被8整除, 因此也能被8整除. 又因为, 为奇数, 所以为2或6, 所以.

    综上所述,

    ③如果, 则

    则有

    验证是否整除7, 8的条件, 不符合.

    ④故, 故.

    该九位数为.

    因为能被8整除, 即也能被8整除, 因此.

    时, 经验证不能被7整除, 因此.

    该九位数为.

    ⑤现在只剩4种情况, 即

    则有

    经验证符合条件的九位数为, 因此个位数为.

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