工人分金条

一位老板有一根金条用于支付他的工人一周共7天的工作, 他每天需要给工人一段金条来结账, 不能赊账也不能多付, 那么金条最少切割多少次才能实现这一目标？

A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

这是最近很火的电视剧《天才基本法》里出现的一道数学题. 这道题很经典, 被称为工人分金问题. 答案是这样的：将金条切割2次分成3段, 每段的长度分别是这根金条的

具体操作如下：

第一天：给工人段金条；

第二天：给工人段, 同时把昨天的段要回来；

第三天：把段给工人, 这样工人手中就是段了；前3天共

第四天：把段给工人, 同时把工人手中的段要回来；

第五天：把段给工人, 这样工人手中就是段了；前5天共

第六天：段给工人, 同时把工人手中的段要过来；前6天共

第七天：把段给工人, 这样整根金条都给工人了. 前7天共

那么这类问题怎么思考呢？我们来分析一下：

在工人分金这个问题里, 问至少需要用几段金条才可以付清每天的工资, 而且这几段加起来就是整根金条. 那么前N天总共需要给工人段金条. N为1到7之间的整数.

所以问题就是需要将7分解成一些较小的数, 取出一部分数进行加法运算, 就可以得到一个1到7之间的整数.

假设这样的一组数存在, 我们设为n个, 从小到大分别为：即：（n为正整数）现在我们来看这一组数是如何组成一个新的数的.

(其中的取值只能是这2个数, n是正整数)

根据要求, 我们知道这一组数必须满足下面这些条件：

…………………①

当到取完所有的可能值时, 至少能产生7个数字 , 而这些数字里还必须有1至7的所有正整数. .................②

式子②所能产生的数字个数问题实际上又是排列组合问题, 每个都有2种取值的可能, 所以所能组成的数字的总个数. 这些数字中有0, 有正整数. 所以实际产生的正整数的总个数应该是：.

设 （如果此式能成立, 则刚好能产生1到7的所有正整数）

即：.

解之得：

这就从理论上证明了7能分成3个较少的数字, 并且从这3个数字中取出m(的正整数)个进行或加法运算所生成的所有正整数刚好就是1至7的所有自然正整数.

下面就具体的求出这3个数.

显然： , 因为1是自然数的始祖, 少了它肯定不行.

那么是多少呢？与1可以组成的数字：, 显然

有了1和2这两个数字我们就能产生数字：

增加后, 我们又能增加这些数：

因此

现在让我们验证方程①是否成立,

方程①成立.

所以应该将7个单位长的金条分成段. 而这里1,2,4恰好就是

那么现在如果这跟金条是31个单位长度, 老板至少需要将金条分成几段, 才能每天都可以给工人结清工资呢？请在挑战题里选出你的答案.