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Campanulata

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求切线段长

阅读(94)

平面几何圆

收录于

初中数学 -- 2022年06月23日

摘要

正方形里的半圆的切线段长度等于多少?

切线长定理

切线长定理是指从圆外一点引圆的两条切线, 则切线长相等. 即如图, $\text{[math]}$ 切圆 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ , 则切线段 $\text{[math]}$ 长度称为切线长, 有切线长相等 $\text{[math]}$

此定理的证明很简单.

过圆外一点 $\text{[math]}$ 作圆 $\text{[math]}$ 的切线, 则有 $\text{[math]}$

因此在 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 中, 有 $\text{[math]}$

根据勾股定理或者根据三角形全等均可以推出 $\text{[math]}$

进一步还可以得到 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$

即圆外一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

小试牛刀

在 $\text{[math]}$ 中, $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的内切圆相切. 问 $\text{[math]}$ 的周长是多少？记 $\text{[math]}$ 与圆相切于点 $\text{[math]}$

由切线长定理得 $\text{[math]}$ .

因此 $\text{[math]}$ 的周长等于

$\text{[math]}$

设 $\text{[math]}$ ,则 $\text{[math]}$ . 故 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ . 因此 $\text{[math]}$ . 由 $\text{[math]}$ 解得 $\text{[math]}$ . 因此三角形 $\text{[math]}$ 的周长等于 $\text{[math]}$ .

在这道题中, 注意到四边形 $\text{[math]}$ 是圆的外切四边形, 根据切线长定理可以得出 $\text{[math]}$

即圆的外切四边形的两组对边的和相等. 这是切线长定理的一个推论.

展开正文...

题目

如图, 边长为 $\text{[math]}$ 的正方形 $\text{[math]}$ 的一条边 $\text{[math]}$ 是半圆的直径. 过其一个顶点 $\text{[math]}$ 作半圆的切线与正方形 $\text{[math]}$ 边相交于点 $\text{[math]}$ , 切点为 $\text{[math]}$ , 则切线段 $\text{[math]}$ 长等于 __________.

选项

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

提交

等 17 人参与了问题讨论

解答

moci发表于8 个月前

$\text{[math]}$ 是角平分线。

取 $\text{[math]}$ 中点 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

由射影定理 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

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