圆中圆
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圆
勾股定理
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初中数学 -- 2022年06月30日
初中数学 -- 2022年06月30日摘要
两个圆相切于它们的左端点, 如何计算绿色区域面积?
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分 别为 
, 斜边长为 
, 那么 
.
证明勾股定理的方法有很多, 下面介绍我国古人赵爽的证法.
如图，由4个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成大正方形，该图称为赵爽弦图，赵爽利用此图证明了勾股定理.
基本思路如下:
把边长为 
的两个正方形连在一起, 它的面积是 
;
另一方面这个图形可分割成四个全等的直角三角形(绿色)和一个正方形(橘黄色).
把图中左、右两个三角形移到所示位置, 就会形成一个以为边长的正方形.
而图形面积没有改变. 因此, .
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等 27 人参与了问题讨论
题目
如图所示, 两个圆相切于它们的左端点, 右端点间的距离为18. 作出大圆的两条相互垂直的直径, 竖直直径上的两条线段长度为10. 则绿色区域的面积等于__________.
选项
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等 27 人参与了问题讨论
设小圆与虚线相交的点自左端点起顺时针依次为A、B、C、D，大圆圆心为O，连接AB、BC，AD。 ∵虚线AC经过小圆的圆心，B、D关于AC对称 ∴∠BAC=∠DAC ∵∠DBC=∠DAC(弦对角相等) ∴∠BAC=∠DBC ∴三角形AOB相似于三角形BOC。 设大圆半径为x，则AO=x，BO=x-10，CO=x-18，则根据以上相似得x/(x-10)=(x-10)/(x-18)， 解得x=50，小圆半径为(50×2-18)/2=41， 于是绿色面积=大圆面积-小圆面积=(50^2-41^2)*π=819π。