抗原检测出阳性？莫慌！

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条件概率数学建模

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高中数学 -- 2022年03月27日

摘要

如果我被抗原检测出阳性, 我实际并未被感染的概率有多大？如果我的邻居抗原检测阴性, 实际他是无症状感染者的概率又有多大？

本周末, 上海多区发布了告居民书, 将在26-28日针对部分街道或全区人员进行一次抗原筛查检测. [1]

而在10天前的3月15日, 在国务院联防联控机制召开的新闻发布会上, 国家卫健委临床检验中心副主任李金明表示抗原检测应该用在高风险、高流行率的聚集性感染的人群检测. 他解释道, 到流行率低于百万分之一的千万人口城市做筛查的话, 会得到30万个阳性, 但这30万个阳性里只有9个是真的, 也就是说绝大部分是假阳性.[2]

那么这个抗原检测到底靠不靠谱？

如果我被抗原检测出阳性, 我实际并未被感染的概率有多大？

如果我的邻居抗原检测阴性, 实际他是无症状感染者的概率又有多大？

符号说明

我们将人群分为感染和未感染两类, 通过抗原检测, 分别有检测阳性和检测阴性两种结果.

记事件 $\text{[math]}$ 为“抗原测试结果阳性”, 事件B为“已被感染”. 则对立事件 $\text{[math]}$ 为“抗原测试结果阴性”, 事件 $\text{[math]}$ 为“未被感染”.

$\text{[math]}$ 为检测感染率, $\text{[math]}$ 为真实感染率.

条件概率 $\text{[math]}$ 是指在事件 $\text{[math]}$ 发生的条件下事件 $\text{[math]}$ 发生的概率.

$\text{[math]}$ 是指事件 $\text{[math]}$ 同时发生的概率.

抗原检测出阳性, 实际并未被感染的概率可表示为 $\text{[math]}$ , 我们称为假阳性.

抗原检测阴性, 实际是无症状感染的概率表示为 $\text{[math]}$ 我们称为假阴性.

贝叶斯公式和全概率公式

根据条件概率公式： $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$

同理有, $\text{[math]}$

于是 $\text{[math]}$

将其改写为 $\text{[math]}$ 这就是著名的贝叶斯公式[3].

而事件 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

根据贝叶斯公式有 $\text{[math]}$ , 此为全概率公式.

假阳性和假阴性

$\text{[math]}$ 是在感染人群中检测出阳性人数占比, 称为试剂的敏感度 $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ 是在未感染人群中检测出阴性人数占比, 称为试剂的特异度 $\text{[math]}$ .

根据贝叶斯公式, 假阳性的概率

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

假阴性的概率

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

其中

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

计算结果

根据官方数据[2], 已知试剂的敏感度 $\text{[math]}$ 试剂的特异度 $\text{[math]}$ .

根据不同的真实感染率, 代入上述公式, 计算可得如下结果：

$\text{[math]}$

所以在真实感染率为 $\text{[math]}$ 时, 抗原检测的假阳性是相当高的, 假设城市人口数为1000万, 那么检测出阳性数量为 $\text{[math]}$

其中真阳性数量为: $\text{[math]}$

也就是大约30万阳性人群中, 只有9人是真阳.

总结一下, 对于敏感度为 $\text{[math]}$ 特异度为 $\text{[math]}$ 的抗原试剂,

低感染率（ $\text{[math]}$ 以内）的人群中确实会检查出很多假阳性, 所以如果你不小心被检测出来阳性, 莫恐慌, 很有可能是假阳, 待在家中别乱动, 等待闭环做核酸.
低感染率（ $\text{[math]}$ 以内）的人群中假阴性数据很小, 说明漏检几乎可以不考虑. 所以如果你的邻居查出来是阴性, 你们还是可以愉快的交流的（口罩莫摘）.
在低感染率（ $\text{[math]}$ 以内）人群中做抗原检测的意义是一次筛查, 只要是阴性的, 基本上都是未感染的. 与其全员核酸检测, 耗时耗力, 不如先进行一次全员自助抗原筛查, 在检出的阳性人员中, 再进行核酸检测.
高感染率达 $\text{[math]}$ 的人群中, 抗原检测假阴性为 $\text{[math]}$ ，说明漏检率不超过 $\text{[math]}$ . 假阳性的概率却明显降低只有 $\text{[math]}$ . 因此抗原检测更应该用在高风险高流行率的聚集性感染的人群中.

参考文献

[1]打赢这场仗, 这个周末至关重要！上海今起新一轮检测！核酸、抗原检测全覆盖https://mp.weixin.qq.com/s/n36Zw8ccT0oiRMBNaZzVTg

[2]国家卫健委：一般人群不要随意做抗原检测http://www.gov.cn/fuwu/2022-03/15/content_5679226.htm

[3]Dimitri P.Bertsekas, John N.Tsitsiklis 著. Introduction to Probability. 概率导论[M]. 人民邮电出版社. p27-p33.

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题目

记事件 $\text{[math]}$ 为“抗原测试结果阳性”, 事件B为“已被感染”. $\text{[math]}$ 是在感染人群中检测出阳性人数占比, 称为试剂的敏感度 $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ 是在未感染人群中检测出阴性人数占比, 称为试剂的特异度 $\text{[math]}$ .

某地区爆发疫情, 根据专家预测, 真实感染率为 $\text{[math]}$ , 该地进行抗原筛查的试剂敏感度 $\text{[math]}$ 试剂的特异度 $\text{[math]}$ . 问测出假阳性的概率是__________.

选项

$\text{[math]}$

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